Равнобедренный треугольник: медианы, биссектрисы и высоты
Три важных отрезка треугольника — медиана, биссектриса и высота — и волшебное свойство равнобедренного треугольника, где они совпадают.
Положи тарелку на палец — она уравновесится в одной-единственной точке. Эта точка лежит на пересечении медиан треугольника: физики зовут её центром тяжести, а математики — замечательной точкой треугольника. Три отрезка — медиана, биссектриса, высота — звучат похоже, но выполняют разную работу, и путать их на контрольной дорого: половина ошибок в задачах на равнобедренный треугольник именно отсюда.
Три отрезка, три определения
- Медиана#
- Отрезок от вершины к середине противоположной стороны. Делит сторону пополам.
- Биссектриса#
- Отрезок от вершины до стороны, лежащий на биссектрисе угла. Делит угол пополам.
- Высота#
- Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Образует с ней угол 90°.
- Боковые стороны 10 см, основание 12 см. Медиана к основанию делит его пополам.
- Эта же линия — высота, значит она перпендикулярна основанию.
- Угол при основании равен 40°, биссектриса из вершины делит угол при вершине так, что половина угла при вершине равна 50°.
Сведём три отрезка в таблицу: она спасает, когда в задаче написано «биссектриса», а на чертеже проведена медиана. Смотри, что именно делит отрезок, — так его и называют.
| Отрезок | Что делит | Проверь на чертеже |
|---|---|---|
| Медиана | Сторону пополам | Точка выхода — середина стороны |
| Биссектриса | Угол пополам | Две части угла отмечены равными дужками |
| Высота | Ничего — она даёт прямой угол со стороной | Квадратик у основания |
У каждого треугольника три медианы, три биссектрисы и три высоты — по одной из каждой вершины. В произвольном треугольнике они не совпадают, но каждая тройка пересекается в одной точке. Эти «замечательные точки» дадут о себе знать в 8-9 классах, а медианы прямо сейчас: точка их пересечения — центр тяжести, делящий каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины.
Свойства, которые стоит запомнить
Как построить медиану, биссектрису и высоту
Три отрезка строятся по трём разным рецептам, и инструменты для них разные. Медиану строит линейка: измерь сторону, раздели её длину пополам, отметь середину и соедини с вершиной. Биссектрису строит транспортир: замерь угол, раздели величину пополам и проведи луч через новую отметку. Высоту строит угольник: приложи его к стороне перпендикулярно и веди линию до вершины. Циркуль ускоряет поиск середины: две дуги равного радиуса из концов стороны пересекаются — прямая через точки пересечения даёт середину отрезка, даже если мерить линейкой лень.
- медиана: от вершины к середине противоположной стороны;
- биссектриса: от вершины внутрь угла, делит его величину пополам;
- высота: из вершины под углом 90° к прямой, содержащей сторону.
В равнобедренном треугольнике к основанию хватит одной линии — она окажется сразу всем троим. Это главный сюрприз темы и экономия времени на чертеже: одна линия — три свойства. Только не переноси этот факт на боковые стороны: там все три отрезка снова идут разными путями.
Биссектриса угла и биссектриса треугольника
У биссектрисы две роли. Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины и делящий сам угол пополам. Биссектриса треугольника — отрезок: она начинается в вершине и заканчивается на противоположной стороне, до второй стороны угла не доходит. В равнобедренном треугольнике из вершины напротив основания обе роли совпадают с медианой и высотой — та самая «волшебная» линия.
Проверка на чертеже: у биссектрисы треугольника один конец — вершина, второй лежит строго на стороне. Если конец висит в воздухе, это биссектриса угла, а не отрезок треугольника. В задачах обе зовутся одинаково, поэтому смотри по контексту: речь о делении угла или об отрезке внутри треугольника. Удобная проверка: биссектриса треугольника всегда заканчивается на противоположной стороне и делит её на два отрезка — части одной стороны.
Разбор типовой задачи
- В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, периметр — 40 см. Медиана, проведённая к основанию, отсекает треугольник с периметром 30 см. Найди медиану.
- Сначала найди основание: периметр минус две боковые стороны.
- Медиана к основанию делит его пополам — по 8 см.
- Отсечённый треугольник собран из боковой стороны, половины основания и медианы.
- Отсюда медиана равна 10 см.
- Проверка: периметры двух отсечённых треугольников в сумме дают 60 см, а периметр исходного 40 см — разница 20 см и есть медиана, посчитанная дважды. Всё сходится.
Три замечательные точки треугольника
Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке — центре тяжести. Положи треугольную линейку на остриё карандаша в этой точке — она останется в равновесии. Точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины: на длинную часть приходится вдвое больше, чем на короткую. Физики балансируют на этом свойстве пластины, а конструкторы рассчитывают подвесы и кронштейны. Заложи этот факт в память: в девятом классе он вернётся в задачах на векторы и координаты.
Биссектрисы тоже встречаются в одной точке — она равноудалена от всех трёх сторон, и в неё ложится окружность, вписанная в треугольник. Высоты пересекаются в ортоцентре: в остроугольном треугольнике он внутри, в тупоугольном — снаружи. А серединные перпендикуляры к сторонам дают центр описанной окружности. Три отрезка из этого урока — вход в целый мир замечательных точек, который откроется в 8-9 классах.
Историческая деталь: деление медиан в отношении 2 : 1 умел доказывать ещё Архимед — он решал его через центры тяжести пластин. А в восемнадцатом веке Леонард Эйлер обнаружил, что сразу три знаменитые точки треугольника — центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности — лежат на одной прямой. Её так и зовут: прямая Эйлера.
Высоты вне треугольника
В тупоугольном треугольнике высоты из двух острых вершин падают снаружи: сторона, на которую они должны опуститься, спрятана за тупым углом, и перпендикуляр ведут к продолжению стороны — пунктиром за фигуру. Высота из вершины тупого угла, наоборот, живёт внутри. Поэтому на одном чертеже бывает три высоты, и только одна из них — внутри треугольника.
Обрати внимание на формулировку: высота опускается на прямую, содержащую сторону, а не только на сам отрезок. Именно поэтому продолжение — законное место для основания высоты, и рисовать его пунктиром не просто можно, а нужно. Порядок действий экономит время: сначала продолжение, потом высота — иначе придётся перерисовывать. Тренировочный план: возьми тупоугольный треугольник с углом 120° и проведи все три высоты — две обязаны упасть на продолжения. Такой чертёж — типовой номер в контрольной, и именно здесь чаще всего теряют балл.
Словарь урока
- Основание#
- Сторона равнобедренного треугольника, не равная двум боковым
- Ось симметрии#
- Линия перегиба, по которой фигура совпадает сама с собой; в равнобедренном треугольнике это медиана к основанию
- Серединный перпендикуляр#
- Прямая через середину отрезка под углом 90° к нему
- Центр тяжести#
- Точка пересечения медиан; в ней треугольная пластина балансирует
- Ортоцентр#
- Точка пересечения высот треугольника
- Замечательные точки#
- Знаменитые точки треугольника: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр
Как это спрашивают на контрольной
- Начерти равнобедренный треугольник и проведи медиану к основанию. Какими ещё отрезками она является?
- Периметр равнобедренного треугольника 34 см, основание 12 см. Найди боковую сторону. Ответ: 11 см.
- Отрезок делит сторону треугольника на части 6 см и 9 см. Может ли он быть медианой? Ответ: нет, части обязаны быть равными.
- В треугольнике ABC медиана из вершины B делит сторону AC. Запиши равные отрезки.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны 47°. Найди угол при вершине. Ответ: 86°.
Ошибки здесь типовые: пишут «медиана делит угол», «биссектриса делит сторону», «высота выходит из середины». Заучи привязку к глаголу: медиана — сторона, биссектриса — угол, высота — прямой угол. В задачах с равнобедренным треугольником первым делом найди основание: без него непонятно, к какой стороне проводить «волшебную» линию. Если просят построение — описывай инструменты и порядок: сначала фигура, потом линия, потом подписи букв.
Медиана делит сторону треугольника , биссектриса делит , а высота образует со стороной угол °.
Банк слов
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, — это…
2 Медиана делит сторону треугольника на отрезки 8 см и 8 см. Чему равна сторона?
3 Что верно для равнобедренного треугольника?
4 В равнобедренном треугольнике любая биссектриса является медианой.
5 Угол при основании равнобедренного треугольника равен 52°. Найди угол при вершине.
6 Сопоставь отрезок и его работу.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Где это свойство работает?
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
8 Вставь пропущенное.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
В равнобедренном треугольнике углы при равны, а биссектриса, проведённая к основанию, является ещё и
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем медиана отличается от биссектрисы в треугольнике?
Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. В равнобедренном треугольнике к основанию они совпадают.
Когда биссектриса является медианой и высотой?
В равнобедренном треугольнике — если она проведена из вершины к основанию. Для других сторон это не работает.
Может ли высота лежать вне треугольника?
Да, может. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин падают на продолжения противоположных сторон.
Где пересекаются медианы треугольника?
В одной точке внутри треугольника. Она делит каждую медиану в отношении 2 : 1 от вершины и служит центром тяжести.