Равнобедренный треугольник: медианы, биссектрисы и высоты — тренажёр

Пример 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 31 см, боковая сторона — 6 см. Найди основание.

Подсказка. Вычти из периметра две боковые стороны.

Как решать. Основание = периметр минус две боковые стороны: 31 − 6 − 6.

Ответ: 19

Пример 2. Медиана делит сторону треугольника на отрезки по 5 см. Найди длину всей стороны.

Как решать. Медиана идёт к середине стороны, поэтому вся сторона вдвое больше 5 см.

Ответ: 10

Пример 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 59°. Найди угол при вершине.

Как решать. Два угла при основании равны 59°, значит при вершине 180° − 2·59°.

Ответ: 62

Пример 4. Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является…

Как решать. Это главное свойство равнобедренного треугольника: к основанию все три отрезка совпадают.

Ответ: Медианой и высотой

Пример 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см, боковая сторона — 9 см. Найди основание.

Подсказка. Вычти из периметра две боковые стороны.

Как решать. Основание = периметр минус две боковые стороны: 21 − 9 − 9.

Ответ: 3

Пример 6. Медиана делит сторону треугольника на отрезки по 20 см. Найди длину всей стороны.

Как решать. Медиана идёт к середине стороны, поэтому вся сторона вдвое больше 20 см.

Ответ: 40

Пример 7. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 41°. Найди угол при вершине.

Как решать. Два угла при основании равны 41°, значит при вершине 180° − 2·41°.

Ответ: 98

Пример 8. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, боковая сторона — 8 см. Найди основание.

Подсказка. Вычти из периметра две боковые стороны.

Как решать. Основание = периметр минус две боковые стороны: 28 − 8 − 8.

Ответ: 12

Пример 9. Медиана делит сторону треугольника на отрезки по 14 см. Найди длину всей стороны.

Как решать. Медиана идёт к середине стороны, поэтому вся сторона вдвое больше 14 см.

Ответ: 28

Пример 10. Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является…

Как решать. Это главное свойство равнобедренного треугольника: к основанию все три отрезка совпадают.

Ответ: Медианой и высотой

Пример 11. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см, боковая сторона — 5 см. Найди основание.

Подсказка. Вычти из периметра две боковые стороны.

Как решать. Основание = периметр минус две боковые стороны: 34 − 5 − 5.

Ответ: 24

Пример 12. Медиана делит сторону треугольника на отрезки по 22 см. Найди длину всей стороны.

Как решать. Медиана идёт к середине стороны, поэтому вся сторона вдвое больше 22 см.

Ответ: 44

Пример 13. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 68°. Найди угол при вершине.

Как решать. Два угла при основании равны 68°, значит при вершине 180° − 2·68°.

Ответ: 44

Пример 14. Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является…

Как решать. Это главное свойство равнобедренного треугольника: к основанию все три отрезка совпадают.

Ответ: Медианой и высотой

Пример 15. Периметр равнобедренного треугольника равен 31 см, боковая сторона — 5 см. Найди основание.

Подсказка. Вычти из периметра две боковые стороны.

Как решать. Основание = периметр минус две боковые стороны: 31 − 5 − 5.

Ответ: 21

Пример 16. Медиана делит сторону треугольника на отрезки по 25 см. Найди длину всей стороны.

Как решать. Медиана идёт к середине стороны, поэтому вся сторона вдвое больше 25 см.

Ответ: 50

Пример 17. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 36°. Найди угол при вершине.

Как решать. Два угла при основании равны 36°, значит при вершине 180° − 2·36°.

Ответ: 108

Пример 18. Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является…

Как решать. Это главное свойство равнобедренного треугольника: к основанию все три отрезка совпадают.

Ответ: Медианой и высотой

Вопрос 1. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, — это…

Ответ: медиана

Пояснение. Ключевое слово — «середина стороны»: это медиана.

Вопрос 2. Медиана делит сторону треугольника на отрезки 8 см и 8 см. Чему равна сторона?

Ответ: 16

Пояснение. Медиана делит сторону пополам: 8 + 8 = 16 см.

Вопрос 3. Что верно для равнобедренного треугольника?

Ответ: Углы при основании равны; Биссектриса к основанию — медиана и высота; Боковые стороны равны

Пояснение. Все углы равны только у равностороннего треугольника — частного случая равнобедренного.

Вопрос 4. В равнобедренном треугольнике любая биссектриса является медианой.

Ответ: Неверно

Пояснение. Только биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с медианой и высотой. К боковой стороне — нет.

Вопрос 5. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 52°. Найди угол при вершине.

Ответ: 76

Пояснение. Два угла при основании дают 52° + 52° = 104°, значит при вершине 180° − 104° = 76°.

Вопрос 6. Сопоставь отрезок и его работу.

Пояснение. Каждый отрезок «отвечает» за своё: сторона, угол, перпендикуляр.

Вопрос 7. Где это свойство работает?

Пояснение. Пересечение медиан в одной точке и сумма углов 180° работают всегда, а совпадение биссектрисы, медианы и высоты к основанию — особенность равнобедренного треугольника.

Вопрос 8. Вставь пропущенное.

Ответ: основании → медианой

Пояснение. Оба свойства следуют из симметрии равнобедренного треугольника: биссектриса к основанию — его ось симметрии.