Синус, косинус и тангенс острого угла — тренажёр
Тренировка по теме «Синус, косинус и тангенс острого угла»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Катет, противолежащий углу α, равен 10 см, sin α = 0,5. Найди гипотенузу (в см).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
20 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Катет, противолежащий углу α, равен 8 см, sin α = 0,5. Найди гипотенузу (в см).
Подсказка. При синусе 0,5 гипотенуза — два катета.
Как решать. Синус — противолежащий катет делить на гипотенузу: при 0,5 гипотенуза вдвое больше, то есть 2 · 8 см.
Ответ: 16
Пример 2. tg α = 3, прилежащий катет равен 6 см. Найди противолежащий катет (в см).
Подсказка. Умножь прилежащий катет на тангенс.
Как решать. Тангенс — противолежащий катет делить на прилежащий: он равен 3 · 6 см.
Ответ: 18
Пример 3. В прямоугольном треугольнике угол 45°, один катет равен 9 см. Найди второй катет (в см).
Подсказка. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Как решать. tg 45° = 1, поэтому катеты равны: второй катет 9 см.
Ответ: 9
Пример 4. Противолежащий и прилежащий катеты угла α равны, оба по 7 см. Чему равен tg α?
Подсказка. Раздели равные числа.
Как решать. tg α = 7 : 7 = 1 — у равных катетов тангенс равен единице, а угол составляет 45°.
Ответ: 1
Пример 5. Если увеличить оба катета прямоугольного треугольника в 4 раза, тангенс его острого угла не изменится.
Подсказка. Дробь с одинаковым множителем сверху и снизу.
Как решать. Тангенс — отношение катетов: оба множителя при умножении на 4 сокращаются, отношение остаётся тем же.
Ответ: Верно
Пример 6. Катет, противолежащий углу α, равен 4 см, sin α = 0,5. Найди гипотенузу (в см).
Подсказка. При синусе 0,5 гипотенуза — два катета.
Как решать. Синус — противолежащий катет делить на гипотенузу: при 0,5 гипотенуза вдвое больше, то есть 2 · 4 см.
Ответ: 8
Пример 7. tg α = 3, прилежащий катет равен 13 см. Найди противолежащий катет (в см).
Подсказка. Умножь прилежащий катет на тангенс.
Как решать. Тангенс — противолежащий катет делить на прилежащий: он равен 3 · 13 см.
Ответ: 39
Пример 8. В прямоугольном треугольнике угол 45°, один катет равен 5 см. Найди второй катет (в см).
Подсказка. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Как решать. tg 45° = 1, поэтому катеты равны: второй катет 5 см.
Ответ: 5
Пример 9. Противолежащий и прилежащий катеты угла α равны, оба по 6 см. Чему равен tg α?
Подсказка. Раздели равные числа.
Как решать. tg α = 6 : 6 = 1 — у равных катетов тангенс равен единице, а угол составляет 45°.
Ответ: 1
Пример 10. Если увеличить оба катета прямоугольного треугольника в 2 раза, тангенс его острого угла не изменится.
Подсказка. Дробь с одинаковым множителем сверху и снизу.
Как решать. Тангенс — отношение катетов: оба множителя при умножении на 2 сокращаются, отношение остаётся тем же.
Ответ: Верно
Пример 11. Катет, противолежащий углу α, равен 7 см, sin α = 0,5. Найди гипотенузу (в см).
Подсказка. При синусе 0,5 гипотенуза — два катета.
Как решать. Синус — противолежащий катет делить на гипотенузу: при 0,5 гипотенуза вдвое больше, то есть 2 · 7 см.
Ответ: 14
Пример 12. tg α = 3, прилежащий катет равен 10 см. Найди противолежащий катет (в см).
Подсказка. Умножь прилежащий катет на тангенс.
Как решать. Тангенс — противолежащий катет делить на прилежащий: он равен 3 · 10 см.
Ответ: 30
Пример 13. Противолежащий и прилежащий катеты угла α равны, оба по 5 см. Чему равен tg α?
Подсказка. Раздели равные числа.
Как решать. tg α = 5 : 5 = 1 — у равных катетов тангенс равен единице, а угол составляет 45°.
Ответ: 1
Пример 14. Катет, противолежащий углу α, равен 10 см, sin α = 0,5. Найди гипотенузу (в см).
Подсказка. При синусе 0,5 гипотенуза — два катета.
Как решать. Синус — противолежащий катет делить на гипотенузу: при 0,5 гипотенуза вдвое больше, то есть 2 · 10 см.
Ответ: 20
Пример 15. tg α = 3, прилежащий катет равен 14 см. Найди противолежащий катет (в см).
Подсказка. Умножь прилежащий катет на тангенс.
Как решать. Тангенс — противолежащий катет делить на прилежащий: он равен 3 · 14 см.
Ответ: 42
Пример 16. В прямоугольном треугольнике угол 45°, один катет равен 10 см. Найди второй катет (в см).
Подсказка. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Как решать. tg 45° = 1, поэтому катеты равны: второй катет 10 см.
Ответ: 10
Пример 17. Противолежащий и прилежащий катеты угла α равны, оба по 3 см. Чему равен tg α?
Подсказка. Раздели равные числа.
Как решать. tg α = 3 : 3 = 1 — у равных катетов тангенс равен единице, а угол составляет 45°.
Ответ: 1
Пример 18. Если увеличить оба катета прямоугольного треугольника в 5 раза, тангенс его острого угла не изменится.
Подсказка. Дробь с одинаковым множителем сверху и снизу.
Как решать. Тангенс — отношение катетов: оба множителя при умножении на 5 сокращаются, отношение остаётся тем же.
Ответ: Верно
Пример 19. tg α = 3, прилежащий катет равен 15 см. Найди противолежащий катет (в см).
Подсказка. Умножь прилежащий катет на тангенс.
Как решать. Тангенс — противолежащий катет делить на прилежащий: он равен 3 · 15 см.
Ответ: 45
Пример 20. Противолежащий и прилежащий катеты угла α равны, оба по 6 см. Чему равен tg α?
Подсказка. Раздели равные числа.
Как решать. tg α = 6 : 6 = 1 — у равных катетов тангенс равен единице, а угол составляет 45°.
Ответ: 1
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Синус, косинус и тангенс острого угла» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?
Ответ: отношение противолежащего катета к гипотенузе
Пояснение. Синус — противолежащий катет делить на гипотенузу; вариант «прилежащий к гипотенузе» — это косинус.
Вопрос 2. Чему равен cos 60°? Запиши десятичной дробью.
Ответ: 0.5
Пояснение. cos 60° = 0,5 — это зеркальный близнец sin 30°.
Вопрос 3. В прямоугольном треугольнике угол 45°, один из катетов равен 6 см. Чему равен второй катет (в см)?
Ответ: 6
Пояснение. tg 45° = 1, поэтому катеты равны: треугольник равнобедренный.
Вопрос 4. Синус острого угла может быть равен 2.
Ответ: Неверно
Пояснение. Синус — отношение катета к гипотенузе, а катет короче гипотенузы, поэтому синус меньше 1.
Вопрос 5. sin α = 0,8, где α — острый угол. Найди cos α. Запиши десятичной дробью.
Ответ: 0.6
Пояснение. Основное тождество: cos²α = 1 − 0,64 = 0,36, для острого угла cos α = 0,6.
Вопрос 6. Гипотенуза равна 10 см, sin α = 0,6. Чему равен противолежащий катет?
Ответ: 6 см
Пояснение. Противолежащий катет равен 10 · 0,6 = 6 см.
Вопрос 7. Тангенс острого угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу.
Ответ: Верно
Пояснение. tg α = sin α : cos α: обе дроби содержат гипотенузу, которая сокращается.
Вопрос 8. Сопоставь значение и угол.
Пояснение. Шесть значений таблицы связаны парами: синус одного угла равен косинусу дополнительного до 90°, а тангенс 45° равен единице.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.