Неравенство треугольника и соотношения сторон и углов

Сквер между домом и школой: по дорожкам вдоль газона выходит 200 м и ещё 150 м, а наискосок по асфальтированной диагонали — около 300 м. Кто ходил пешком, знает: наискосок всегда короче пути в ломаную. Геометрия объясняет это одной строкой и добавляет правило жёстче: у «треугольника» со сторонами 200, 150 и 400 метров третьего пути не существует вообще — его не проложить никак.

Большая сторона лежит против большего угла

В любом треугольнике сторона и угол связаны: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот — против большего угла лежит большая сторона. Сравнить стороны — значит сравнить углы напротив них. В треугольнике с углами 40°, 60° и 80° наименьшая сторона лежит против 40°, наибольшая — против 80°. Отсюда сразу два следствия: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, потому что равны боковые стороны, а в прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета — прямой угол больше любого острого.

Треугольник — жёсткая фигура

Соедини три рейки гвоздями по концам — получится конструкция, которую невозможно перекосить: потянешь за угол, и треугольник либо цельно сдвинется, либо сломается рейка. Четыре рейки, напротив, складываются в параллелограмм, который качается от лёгкого толчка. Причина жёсткости — в третьем признаке равенства и в неравенстве треугольника: три стороны однозначно задают форму, другого треугольника с теми же длинами не существует.

Поэтому треугольники — главный элемент строительных ферм, мостов и электрических опор: внутри прямоугольного пролёта обязательно виден частокол из треугольных ячеек. Стропила двускатной крыши вместе с затяжкой образуют тот же треугольник: стены в 4 м друг от друга и стропила по 2,5 м задают высоту конька однозначно. Форму не выправишь — она либо существует, либо нет, и это прямое следствие правил этого урока.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Проверять всё три не нужно — достаточно взять самую длинную: если наибольшая сторона меньше суммы двух остальных, остальные неравенства выполняются сами. Стороны 3, 4 и 5 проходят: 5 < 3 + 4 — треугольник существует. Стороны 3, 4 и 8 проваливаются: 8 > 7 — не существует, и никакие пересчёты мелких сторон не спасут.

Коридор для третьей стороны

Когда две стороны известны, а третью ищут, неравенство превращается в коридор: неизвестная сторона c обязана быть больше разности и меньше суммы известных a и b. Обе границы вытекают из одного правила: c < a + b и a < b + c, а значит a − b < c. Запиши коридор — и перебирай целые значения, если задача про целые стороны.

Пример: стороны 12 и 16 см. Коридор — от 4 до 28, значит целая третья сторона пробегает все значения от 5 до 27. При c = 5 треугольник есть: 16 < 12 + 5 = 17; при c = 27 тоже есть: 27 < 12 + 16 = 28. Одна строка-коридор заменяет перебор трёх неравенств и сразу отвечает и на вопрос про минимум, и про максимум.

Тот же коридор — рабочее правило плотника: чтобы две стены и балка сошлись в треугольник, балка обязана быть короче суммы и длиннее разности стен. При стенах 30 и 40 см годится любая балка от 11 до 69 см, но чем ближе к границе, тем плосже и хлипче треугольник. Поэтому расчётные конструкции проектируют ближе к середине коридора, а не у края.

Проверяем на задачах

Неравенство работает и в обратную сторону: если угол B больше угла C, то сторона AC длиннее стороны AB. Этим решают задачи на сравнение без вычислений: посчитал углы по теореме о сумме углов треугольника — и сразу видно, какая сторона длиннее. В задачах на доказательство неравенство треугольника часто главный аргумент: путь через третью точку никогда не короче прямого отрезка между концами.

Задача с периметром — классическая ловушка. Равнобедренный треугольник имеет периметр 24 см, основание — 4 см: боковые стороны по 10 см, и всё честно, 10 < 10 + 4. Но возьми основание 22 см: боковые выйдут по 1 см, и неравенство рушится — 22 > 2, треугольника нет. Поэтому ответы в задачах с периметром всегда перепроверяют неравенством, даже если числа сошлись.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Неравенство треугольника#

каждая сторона меньше суммы двух других; достаточно проверить наибольшую

Вырожденный треугольник#

случай, когда наибольшая сторона равна сумме двух других — все точки на одной прямой

Противолежащий угол#

угол, лежащий напротив выбранной стороны

Коридор третьей стороны#

строгие пределы: больше разности и меньше суммы двух известных сторон

Гипотенуза#

наибольшая сторона прямоугольного треугольника — лежит против прямого угла

Жёсткость треугольника#

три стороны задают форму однозначно: каркас из трёх реек не перекосить

Эти шесть терминов — каркас урока, и на контрольной нельзя перепутать вырожденный треугольник, где сумма равна стороне, с настоящим, где сумма строго больше. Гипотенуза и жёсткость встретятся снова в 8 классе: первая — в теореме Пифагора, вторая — в задачах на площади и чертежах. Возвращайся к словарю перед контрольной — это самый быстрый способ освежить формулировки.

Как это спрашивают на контрольной

• Существует ли треугольник со сторонами 4, 5 и 10 см? Проверь наибольшую сторону
• Найди наименьшее и наибольшее целое значение третьей стороны при известных двух
• Углы треугольника 37°, 52° и 91°: против какого угла лежит наибольшая сторона
• Сравни стороны треугольника, если его углы равны 55° и 78°, а третий угол найди сам
• Равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и основанием 10 см: существует ли он

Формулировка «укажите количество целых значений» на ОГЭ решается коридором и вычитанием границ — практика сразу отработает это до автоматизма. В задачах на сравнение сначала находи недостающий угол по сумме 180°, а потом расставляй стороны по росту. И всегда перечитывай условие: слово «существует» меняет весь ход решения, а слово «наибольшее» подсказывает, с какой стороны коридора начинать.

Что делать дальше — прорешай тренажёр: задания про целые значения третьей стороны решаются одним коридором b − a < c < a + b. Затем двигайся к прямоугольным треугольникам: там гипотенуза как наибольшая сторона станет опорой для синуса, косинуса и тангенса.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема