Неравенство треугольника и соотношения сторон и углов — тренажёр

Пример 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 4 см, причём 10 > 4. Найди наименьшее целое значение третьей стороны (в см).

Подсказка. Третья сторона обязана быть больше 10 − 4.

Как решать. Третья сторона больше разности 10 − 4 и меньше суммы 10 + 4; наименьшее целое, строго большее разности, — разность плюс 1.

Ответ: 7

Пример 2. Найди периметр (в см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и основанием 9 см.

Подсказка. Сложи три стороны.

Как решать. Боковые стороны по 6 см и основание 9 см: P = 2 · 6 + 9.

Ответ: 21

Пример 3. В треугольнике два угла равны по 7°. Найди третий угол (в градусах).

Подсказка. Вычти из 180 два одинаковых угла.

Как решать. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол — это 180° − 2 · 7°.

Ответ: 166

Пример 4. Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 15 см?

Подсказка. Проверь только наибольшую сторону: 15.

Как решать. Проверяем наибольшую сторону: нужно, чтобы 15 < 4 + 7, но 4 + 7 меньше 15 — треугольника нет.

Ответ: нет, потому что 4 + 7 < 15

Пример 5. Треугольник со сторонами 6 см, 4 см и (6 + 4) см существует.

Подсказка. Сложи первые две стороны и сравни с третьей.

Как решать. Сторона (6 + 4) равна сумме двух других: 6 + 4 — неравенство треугольника нарушено, фигура вырождается в отрезок.

Ответ: Неверно

Пример 6. Две стороны треугольника равны 15 см и 2 см, причём 15 > 2. Найди наименьшее целое значение третьей стороны (в см).

Подсказка. Третья сторона обязана быть больше 15 − 2.

Как решать. Третья сторона больше разности 15 − 2 и меньше суммы 15 + 2; наименьшее целое, строго большее разности, — разность плюс 1.

Ответ: 14

Пример 7. Найди периметр (в см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 12 см и основанием 10 см.

Подсказка. Сложи три стороны.

Как решать. Боковые стороны по 12 см и основание 10 см: P = 2 · 12 + 10.

Ответ: 34

Пример 8. В треугольнике два угла равны по 4°. Найди третий угол (в градусах).

Подсказка. Вычти из 180 два одинаковых угла.

Как решать. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол — это 180° − 2 · 4°.

Ответ: 172

Пример 9. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 6 см и 15 см?

Подсказка. Проверь только наибольшую сторону: 15.

Как решать. Проверяем наибольшую сторону: нужно, чтобы 15 < 3 + 6, но 3 + 6 меньше 15 — треугольника нет.

Ответ: нет, потому что 3 + 6 < 15

Пример 10. Треугольник со сторонами 4 см, 4 см и (4 + 4) см существует.

Подсказка. Сложи первые две стороны и сравни с третьей.

Как решать. Сторона (4 + 4) равна сумме двух других: 4 + 4 — неравенство треугольника нарушено, фигура вырождается в отрезок.

Ответ: Неверно

Пример 11. Две стороны треугольника равны 14 см и 3 см, причём 14 > 3. Найди наименьшее целое значение третьей стороны (в см).

Подсказка. Третья сторона обязана быть больше 14 − 3.

Как решать. Третья сторона больше разности 14 − 3 и меньше суммы 14 + 3; наименьшее целое, строго большее разности, — разность плюс 1.

Ответ: 12

Пример 12. Найди периметр (в см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см и основанием 6 см.

Подсказка. Сложи три стороны.

Как решать. Боковые стороны по 10 см и основание 6 см: P = 2 · 10 + 6.

Ответ: 26

Пример 13. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 10 см и 15 см?

Подсказка. Проверь только наибольшую сторону: 15.

Как решать. Проверяем наибольшую сторону: нужно, чтобы 15 < 3 + 10, но 3 + 10 меньше 15 — треугольника нет.

Ответ: нет, потому что 3 + 10 < 15

Пример 14. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и (3 + 4) см существует.

Подсказка. Сложи первые две стороны и сравни с третьей.

Как решать. Сторона (3 + 4) равна сумме двух других: 3 + 4 — неравенство треугольника нарушено, фигура вырождается в отрезок.

Ответ: Неверно

Пример 15. Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, причём 8 > 5. Найди наименьшее целое значение третьей стороны (в см).

Подсказка. Третья сторона обязана быть больше 8 − 5.

Как решать. Третья сторона больше разности 8 − 5 и меньше суммы 8 + 5; наименьшее целое, строго большее разности, — разность плюс 1.

Ответ: 4

Пример 16. Найди периметр (в см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 13 см и основанием 10 см.

Подсказка. Сложи три стороны.

Как решать. Боковые стороны по 13 см и основание 10 см: P = 2 · 13 + 10.

Ответ: 36

Пример 17. В треугольнике два угла равны по 8°. Найди третий угол (в градусах).

Подсказка. Вычти из 180 два одинаковых угла.

Как решать. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол — это 180° − 2 · 8°.

Ответ: 164

Пример 18. Существует ли треугольник со сторонами 2 см, 10 см и 15 см?

Подсказка. Проверь только наибольшую сторону: 15.

Как решать. Проверяем наибольшую сторону: нужно, чтобы 15 < 2 + 10, но 2 + 10 меньше 15 — треугольника нет.

Ответ: нет, потому что 2 + 10 < 15

Пример 19. Треугольник со сторонами 7 см, 4 см и (7 + 4) см существует.

Подсказка. Сложи первые две стороны и сравни с третьей.

Как решать. Сторона (7 + 4) равна сумме двух других: 7 + 4 — неравенство треугольника нарушено, фигура вырождается в отрезок.

Ответ: Неверно

Пример 20. Две стороны треугольника равны 9 см и 4 см, причём 9 > 4. Найди наименьшее целое значение третьей стороны (в см).

Подсказка. Третья сторона обязана быть больше 9 − 4.

Как решать. Третья сторона больше разности 9 − 4 и меньше суммы 9 + 4; наименьшее целое, строго большее разности, — разность плюс 1.

Ответ: 6

Пример 21. Найди периметр (в см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 14 см и основанием 9 см.

Подсказка. Сложи три стороны.

Как решать. Боковые стороны по 14 см и основание 9 см: P = 2 · 14 + 9.

Ответ: 37

Пример 22. В треугольнике два угла равны по 3°. Найди третий угол (в градусах).

Подсказка. Вычти из 180 два одинаковых угла.

Как решать. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол — это 180° − 2 · 3°.

Ответ: 174

Пример 23. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 9 см и 15 см?

Подсказка. Проверь только наибольшую сторону: 15.

Как решать. Проверяем наибольшую сторону: нужно, чтобы 15 < 3 + 9, но 3 + 9 меньше 15 — треугольника нет.

Ответ: нет, потому что 3 + 9 < 15

Пример 24. Треугольник со сторонами 5 см, 4 см и (5 + 4) см существует.

Подсказка. Сложи первые две стороны и сравни с третьей.

Как решать. Сторона (5 + 4) равна сумме двух других: 5 + 4 — неравенство треугольника нарушено, фигура вырождается в отрезок.

Ответ: Неверно

Вопрос 1. В треугольнике сторона 9 см — наибольшая. Где лежит наибольший угол?

Ответ: против стороны 9 см

Пояснение. Против большей стороны лежит больший угол, поэтому наибольший угол — напротив стороны 9 см.

Вопрос 2. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см? Если нет — на сколько сантиметров наибольшая сторона перевешивает сумму двух других?

Ответ: 1

Пояснение. 8 > 3 + 4 = 7, треугольника нет; разница 8 − 7 = 1 см.

Вопрос 3. Треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 10 см существует.

Ответ: Неверно

Пояснение. 5 + 5 = 10: большая сторона равна сумме двух других, треугольник вырождается в отрезок.

Вопрос 4. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см. Какое наименьшее целое значение может иметь третья сторона (в см)?

Ответ: 4

Пояснение. Третья сторона больше разности 9 − 6 = 3 и меньше суммы 15; наименьшее целое — 4.

Вопрос 5. Углы треугольника равны 40°, 60° и 80°. Какая сторона наименьшая?

Ответ: против угла 40°

Пояснение. Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла 40°.

Вопрос 6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона.

Ответ: Верно

Пояснение. Прямой угол больше любого острого, поэтому противолежащая ему гипотенуза длиннее каждого катета.

Вопрос 7. Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см. Какое наибольшее целое значение может иметь третья сторона (в см)?

Ответ: 12

Пояснение. Третья сторона меньше суммы 8 + 5 = 13; наибольшее целое — 12.

Вопрос 8. Сопоставь тройку сторон и вывод о существовании треугольника.

Пояснение. В каждой тройке сравниваем наибольшую сторону с суммой двух меньших: 4 < 5, 8 > 7, 10 = 10, 12 < 13. Отсюда и выводы.