Средняя линия треугольника. Применение подобия

Садовник размечает треугольную клумбу и хочет протянуть между кустами три отрезка-бордюра так, чтобы каждый шёл ровно посередине между двумя сторонами. Рулетка показывает: если стороны клумбы 8, 10 и 12 метров, то бордюры выйдут вдвое короче — 4, 5 и 6 метров, причём каждый ляжет строго параллельно своей стороне. Никакого чуда: отрезки между серединами сторон подчиняются жёсткой теореме, а заодно открывают дверь в практику подобия — умение узнавать размеры большой фигуры по маленькой и наоборот. Этим умением пользуются картографы, конструкторы и составители ОГЭ.

Средняя линия: определение и первый взгляд

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В каждом треугольнике таких отрезка три — по числу пар сторон. Сразу развеем путаницу, которая мучает половину класса: средняя линия — не медиана. Медиана выходит из вершины и бьёт противоположную сторону пополам, а средняя линия лежит между двумя серединами, как внутренний мостик, и ни одной вершины не касается. Отсюда и имя: линия, идущая «посередине», вдоль стороны, а не поперёк треугольника.

Средняя линия треугольника#

отрезок, соединяющий середины двух сторон

Медиана#

отрезок из вершины к середине противоположной стороны

Третья сторона#

сторона, к которой средняя линия параллельна и длина которой равна её удвоенной длине

Пропорциональные отрезки#

отрезки, длины которых связаны постоянным множителем — коэффициентом подобия

Главное наблюдение, из которого растёт вся теория: средняя линия всегда параллельна третьей стороне — той, чьи концы она не трогает. Соединил середины сторон AB и BC — получил отрезок, параллельный стороне AC. Это не совпадение формы, а теорема со строгим доказательством, и в нём работает подобие: маленький треугольник у вершины — уменьшенная копия большого. Разберём аккуратно.

Сразу практический вопрос: как на чертеже вообще найти середину отрезка? В задачах на построение её делят циркулем — серединным перпендикуляром, как в уроке о построениях циркулем и линейкой. В расчётных задачах середина — это половина длины. А в жизни сработает и шнур: сложи верёвку пополам, приложи концы к краям стороны — сгиб укажет середину. Метод грубый, но принцип тот же, что в определении: обе части от середины равны.

Теорема о средней линии

Формулировка короткая: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Пусть точки M и N — середины сторон AB и BC. В треугольниках MBN и ABC угол B общий, а стороны вокруг него относятся как 1 к 2: MB составляет половину AB, NB — половину CB. По второму признаку подобия треугольники подобны с коэффициентом одна вторая. Из подобия следуют сразу два факта: соответствующие углы равны, а значит, прямая MN отсекает равные углы и параллельна AC; соответствующие стороны относятся как одна вторая, а значит, MN вдвое короче AC.

Из теоремы вылетают три следствия, которые прямо спрашивают на ОГЭ. Первое: три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника — равных между собой, каждый с коэффициентом одна вторая к исходному. Второе: периметр треугольника из средних линий равен половине периметра исходного — каждая сторона вдвое короче, и всё складывается согласованно. Третье: площади относятся как квадрат коэффициента, то есть один к четырём, — площадь «половинного» периметра падает не в два, а в четыре раза, и об этом постоянно забывают.

Средняя линия трапеции

Тот же приём работает в четырёхугольнике. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называют средней линией трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме — то есть ведёт себя как среднее арифметическое двух параллельных сторон. Основания 12 м и 8 м дают среднюю линию 10 м: она лежит ровно посередине между ними. Обрати внимание: в формуле участвуют только основания, боковые стороны никак не влияют — они могут быть разными, кривыми по наклону, средняя линия не изменится.

Покажем это на живом примере. Дамба в разрезе — трапеция: по гребню 4 метра, по подошве 16 метров. Средняя линия равна 10 метрам — это длина яруса посередине высоты, по которому инженеры считают объём насыпи. Стенки дамбы при этом наклонены по-разному: подошва вытянута больше влево, чем вправо, — но средняя линия зависит только от двух параллельных граней. Так одна строка формулы заменяет целую таблицу замеров.

Почему так — видно из чертежа: продли боковые стороны до пересечения, и трапеция разворачивается в пару подобных треугольников, где средняя линия сидит точно между основаниями с коэффициентом. Для расчётов достаточно формулы, а понимание проверь числами: средняя линия 14 см, одно основание 10 см — тогда сумма оснований 28 см, и второе основание выходит 18 см. Такие задачи в ОГЭ встречаются чаще прямых: дана средняя линия и одно основание, найди другое.

Пропорциональные отрезки и задачи

Общий принцип за всей темой: если в треугольнике проведена прямая, параллельная стороне, она отсекает подобный треугольник. У подобных фигур коэффициент k работает по-разному на разных величинах: длины умножаются на k, периметры — тоже на k, а площади — на k в квадрате. Средняя линия — частный случай с k = 0,5. Отсюда же растёт метод измерений на местности: тень от палки и тень от дерева дают подобные треугольники, и высоту дерева считают пропорцией без единого лазера.

Числовая иллюстрация пропорций: прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC и отсекает на них отрезки 3 см и 4 см. Тогда остатки сторон относятся так же — во сколько раз один кусок больше другого, во столько же раз их продолжения больше своих соседей. Равенство двух отношений — это и есть пропорция, по ней восстанавливают неизвестные отрезки: четыре известных значения дают пятый. На ОГЭ такие задания формулируются как «прямая, параллельная стороне, делит другую сторону в отношении…».

• карты и планы — масштаб есть коэффициент подобия, все длины умножаются на него сразу;
• чертежи и модели — макет здания повторяет пропорции оригинала, площади растут квадратично;
• измерения на местности — высота дерева или столба по тени и пропорции;
• раскрой материала — уменьшенная выкройка требует пересчёта ткани с учётом квадрата коэффициента.

Дальше по курсу — тригонометрия 9 класса: синус и косинус через координаты, теоремы синусов и косинусов, где подобие работает на любом треугольнике. А прямо сейчас закрепи руку на тренажёре: задачи на среднюю линию — это почти всегда два действия и одна внимательная проверка, что именно делится пополам.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема