Уравнение окружности и прямой

Роутер поставили в комнату с планом-сеткой, точка сигнала — (2; 3), а уверенно ловится интернет в радиусе 10 м. Карты в телефоне, радары и пункты выдачи «не дальше 5 км от дома» решают ту же задачу: отобрать точки, у которых расстояние до центра не больше заданного. Чтобы компьютер сам проверял каждую точку, границу зоны нужно записать языком алгебры — уравнением. Круг на плане превращается в формулу, и вопрос «ловится ли сигнал здесь» решается подстановкой двух чисел.

Уравнение окружности

Окружность — множество точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние R. Пусть центр — точка (a; b), произвольная точка окружности — (x; y). Расстояние между ними по теореме Пифагора равно $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$, и оно обязано равняться R. Возводим в квадрат — получаем уравнение окружности: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Для центра (2; −1) и R = 3 запись такая: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$. Проверим точку (4; 1): $(4-2{)}^2+(1+1{)}^2=8<9$ — внутри круга. Точка (2; 2): $0+9=9$ — ровно на окружности.

Уравнение прямой и пересечение с окружностью

Прямая задаётся уравнением первой степени: $ax+by+c=0$, где a, b, c — числа, причём a и b не равны нулю одновременно. Например, $2x-3y+6=0$ легко переписать в виде $y=\frac{2}{3}x+2$ — прямая с угловым коэффициентом. Для задач важен второй герой: расстояние d от центра окружности до прямой. Сравниваем его с радиусом: d < R — прямая пересекает окружность в двух точках, d = R — ровно одна общая точка, касание, d > R — общих точек нет. Три случая, как три вердикта, и все решаются одним сравнением.

Как составить уравнение по условию задачи

Уравнение окружности чаще не дают готовым, а просят составить. Если известны центр и радиус, всё просто: подставь координаты с противоположными знаками в скобки и возведи радиус в квадрат. Сложнее задача, где даны концы диаметра — например, точки A(1; −2) и B(7; 6). Центр такой окружности — середина диаметра, радиус — половина расстояния между концами.

Проверка подстановкой — самая надёжная страховка при составлении уравнения. Подставь одну из данных точек в готовое уравнение: если равенство сошлось, всё собрано верно; не сошлось — ищи ошибку в знаках, а не начинай решать заново. На контрольной такая проверка занимает полминуты, а балл сохраняет.

Обратная задача — по точке понять, где она относительно круга — решается той же подстановкой. Роутер из начала урока стоит в точке (2; 3), радиус зоны 10 м: диван с координатами (8; 5) ловит сигнал или нет? Считаем (8 − 2)² + (5 − 3)² = 40, это меньше 100 = R² — точка внутри круга, сигнал уверенный. Кухня в точке (13; 3) даёт 121 > 100 — за границей зоны. Три вердикта — внутри, на окружности, снаружи — получаются одним сравнением с R².

Точки пересечения прямой и окружности

Общие точки прямой и окружности ищут системой: подставь выражение одной переменной из уравнения прямой в уравнение окружности — получится квадратное уравнение. Его корни дают полный вердикт: два корня — две точки пересечения, один — касание, ни одного — общих точек нет. Разберём конкретную пару: окружность $x^2+y^2=25$ и прямая $y=x-1$.

А прямая $y=5$ с той же окружностью играет иначе: подстановка даёт $x^2+25=25$, единственный корень x = 0 — ровно одна общая точка (0; 5), касание. Никакой магии: сравнение расстояния от центра до прямой с радиусом и честная подстановка приводят к одному и тому же вердикту, просто разными дорогами.

Разбор типовой задачи: докажи касание

Задача: докажите, что прямая x = 6 касается окружности (x − 2)² + (y − 1)² = 16. Слово «касается» переводится на алгебраический язык так: расстояние от центра до прямой равно радиусу — тогда общая точка ровно одна.

Свойство касательной — радиус к точке касания перпендикулярен касательной — здесь видно прямо на координатах: вектор из центра (2; 1) в точку (6; 1) горизонтален, а прямая x = 6 вертикальна. Алгебра и геометрия в этой теме ходят парой.

Где это работает: GPS, радары и покрытие

Уравнения окружности и прямой — не школьная абстракция: на них стоит навигация. Приёмчик GPS держится на том, что пересечение окружностей — это точки. Телефон ловит сигналы со спутников, по задержке каждого сигнала считает дистанцию — радиус окружности на карте. Две окружности пересекаются в двух точках, третья оставляет из них одну — и навигатор показывает твой дом.

• Зона уверенного приёма Wi-Fi: круг вокруг роутера, граница — уравнение окружности
• Радар диспетчера: самолёт внутри круга, если подстановка его координат даёт число меньше R²
• GPS-навигатор: точка стояния — пересечение окружностей вокруг спутников
• Зона доставки «в радиусе 5 км»: адреса отсекает сравнение расстояния с радиусом

В каждом случае машина решает одну и ту же задачу: подставить координаты в уравнение и сравнить результат с R² или с расстоянием до прямой. Один алгебраический приём из девятого класса — и технологии, которыми ты пользуешься каждый день, перестают быть чёрным ящиком.

Словарь урока

Уравнение окружности#

равенство (x − a)² + (y − b)² = R²: все точки на расстоянии R от центра (a; b)

Уравнение прямой#

равенство ax + by + c = 0 первой степени с двумя переменными

Касательная#

прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка

Секущая#

прямая, пересекающая окружность в двух точках

Точки пересечения#

пары чисел (x; y), которые удовлетворяют обоим уравнениям сразу

Взаимное расположение#

три случая для прямой и окружности: нет общих точек, касание, две общие точки

Два уравнения — мост между геометрией и алгеброй: любую картинку из прямых и окружностей можно записать буквами и отдать программе, от графика функции до чертежа детали. В ОГЭ спрашивают центр и радиус, принадлежность точки и точки пересечения. Разбери задачи тренажёра, а дальше по плану — аксиомы планиметрии: почему вся геометрия стоит на нескольких утверждениях, принятых без доказательства.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема