Калькулятор периода полураспада

Врач ввёл пациенту препарат йода-131 для лечения щитовидной железы и хочет понять, сколько его останется через месяц: от этого зависят и накопленная доза, и день контрольного обследования. Период полураспада йода-131 равен 8 дням, месяц — это 24 дня, то есть 3 периода подряд. Каждый период остаток делится пополам, поэтому от препарата останется одна восьмая: половина от половины от половины. Калькулятор выше считает в три стороны: сколько атомов останется через время t, сколько из них успело распасться и сколько ждать, пока количество дойдёт до нужной отметки. Ниже — теория с таблицей изотопов, разбор обратной задачи и грабли, на которые наступают чаще всего.

Период полураспада: половина за период, половина за следующий

Ядро радиоактивного атома распадается случайно: момент смерти конкретного ядра предсказать невозможно, внутреннего будильника у него нет. Но для огромных количеств ядер статистика безупречна: за любой период полураспада T распадается ровно половина того, что было в начале периода. Было N₀ ядер — через один период останется N₀/2, через два — четверть, через три — одна восьмая. Половинки перемножаются, и на каждый прошедший период перед степенью появляется множитель 1/2. Отсюда главная формула всей темы: количество убывает как степень двойки.

Первым делом дели время на период: n = t/T — число прожитых периодов, оно же показатель степени. Целым он быть не обязан: через полтора периода останется не «где-то между четвертью и половиной», а вполне конкретные 35% — одна вторая в степени полтора. Точность тут не портит жизнь: в школьных задачах n почти всегда круглый, а калькулятор спокойно переварит и дробный. Проверить себя легко на таблице ниже: за каждый новый период остаток снова делится пополам.

Строки таблицы показывают главное свойство экспоненты: у короткоживущего изотопа за сутки уже видно движение к нулю, а у долгожителя и за год мало что меняется. Поэтому для диагностики берут технеций-99m: пациент получает дозу на считанные часы, и к следующему утру препарат почти весь распался. Поэтому же цезий-137 после аварий держится в почвах десятилетиями: тридцатилетний период означает, что каждые тридцать лет фон падает лишь вдвое. Углерод-14 для археологов идеален посередине: период длинный, чтобы счёт шёл на тысячелетия, но не настолько, чтобы остаток стало не измерить.

Сколько распалось: дополнение до целого

Доля оставшихся атомов равна 2^(−t/T), а доля распавшихся — всё остальное: 1 − 2^(−t/T). В сумме две доли всегда дают единицу, поэтому второй ответ не считают заново, а получают вычитанием. Для йода-131 за месяц из примера выше распалось 87,5% препарата: это те самые 7/8, которых не хватает оставшейся 1/8 до целого. В задачах читай вопрос внимательно: «сколько останется» и «сколько распадётся» — разные величины, и обиднее всего потерять балл на подмене одной другой.

Обратная задача: сколько ждать до цели

Формула работает и в обратную сторону. Если цель — чтобы осталось N ядер из N₀, то отношение N₀/N показывает, во сколько раз нужно поделиться пополам. Каждое деление пополам — это один период, поэтому число периодов равно логарифму по основанию два: n = log₂(N₀/N). Умножь его на T — получишь время ожидания. Для целевых долей вида 1/2, 1/4, 1/8 логарифм снимается в уме: хочешь остаться с 1/8 — жди 3 периода.

Откуда берётся сама двойка в формуле и почему ей можно верить? Распад каждого ядра — независимая лотерея с одинаковым шансом за период, а закон больших чисел превращает миллионы лотерей в гладкую кривую. Удвоение масштаба ничего не меняет: и для тысячи атомов, и для триллиона за период исчезает половина. Именно поэтому формула одинаково честно работает и для препарата в шприце, и для урановой руды в месторождении, и для космических лучей в атмосфере. А вот для горстки атомов прогноз теряет смысл: десять ядер могут распасться и все сразу, и не распасться вовсе — на малых числах вероятность умеет шалить.

Период полураспада T#

время, за которое распадается половина имеющихся ядер; у каждого изотопа свой и не меняется от температуры, давления и химической формы вещества

Число периодов n#

прошедшее время, делённое на период: n = t/T; показатель степени в законе распада, может быть дробным

Доля оставшихся#

отношение N/N₀, равное 2^(−t/T); умножь на 100% — получишь проценты

Доля распавшихся#

дополнение до целого: 1 − 2^(−t/T); в сумме с долей оставшихся всегда даёт единицу

Радиоуглеродный анализ#

датировка находок по углероду-14 с периодом 5700 лет; работает для возрастов до 50–60 тысяч лет

Числа в задачах бывают пугающие: в одном грамме вещества — порядка 10²¹–10²³ атомов, и формула перемножает их без жалоб. Пугаться степеней не нужно: калькулятор выводит ответ и в обычной записи, и в научной, а порядок величины полезно прикидывать заранее. Если после подстановки у тебя атомов получилось больше, чем было в начале, — где-то потерялся минус в показателе: 2^(−t/T) всегда меньше единицы при t больше нуля.

Где распад считают каждый день

Ядерная медицина живёт на подборе периода. Для диагностики нужен изотоп, который успеет накопиться в органе и исчезнуть до вечера, — технеций-99m с шестью часами. Для лечения, наоборот, нужен долгожитель, чтобы доза набиралась неделями, — йод-131 с восемью днями. В хранилищах радиоактивных отходов правило простое: выдержать 10 периодов — и от вещества останется 0,1%. Для цезия-137 это три века, и именно поэтому пункты захоронения проектируют с запасом на сотни лет. Астрономы читают периоды полураспада по спектрам сверхновых: спад яркости сверхновой типа Ia повторяет распад никеля-56 с периодом около 6 дней.

Самый знаменитый пример обратной задачи — радиоуглеродный анализ. Космические лучи постоянно рождают углерод-14 в атмосфере, растения и животные встраивают его в ткани, и при жизни доля углерода-14 в организме постоянна. После смерти пополнение прекращается и часы заводятся: каждые 5700 лет остаток делится пополам. Нашли кость, в которой углерода-14 четверть от живой нормы, — значит, прошло два периода, около 11 400 лет. Дальше 50–60 тысяч лет метод не видит: остаток становится слишком мал даже для чувствительных приборов, и археологи переходят на другие изотопы.

Куда двигаться дальше: явление и три вида излучения разобраны в уроке про радиоактивность, превращения ядер и уравнения распада — в уроке про ядерные реакции, квантовая модель атома — в уроке про квантовую физику, а состав ядра и изотопы — в уроке про строение атома. В них же — откуда берётся сама экспонента и почему распад не подгоняешь ни температурой, ни давлением.