Как решать задачи на графики производной: ЕГЭ-база
Как читать график функции и график производной: точки экстремума, уравнение касательной и угловой коэффициент. Два разбора с числами, таблица соответствий и типовые вопросы ЕГЭ-базы.
На ЕГЭ по базовой математике производная живёт в коротких заданиях с рисунком: дали график функции — спроси, в какой точке касательная горизонтальна; дали график производной — найди точку минимума; показали прямую на решётке — попроси значение производной в точке касания. Это задачи на чтение картинки, а не на длинные вычисления, и весь их секрет — понимание, что производная показывает скорость изменения функции. Дальше — алгоритм чтения обоих графиков, уравнение касательной, два разбора с числами, таблица соответствий и ловушки. Проверить свои выкладки можно в калькуляторе производной /calc/proizvodnaya/: он дифференцирует полином, считает значение в точке и рисует график с касательной.
Производная — это скорость изменения
Производная f′(x) отвечает на вопрос: как быстро меняется функция в этой точке? На графике это наклон касательной: чем круче подъём, тем больше производная, на спуске она отрицательная, а там, где график горизонтален, — нулевая. Точное значение наклона равно тангенсу угла между касательной и осью x. В физике та же идея на каждом шагу: скорость — производная координаты по времени, ускорение — производная скорости. Координата x(t) = t² − 6t + 8 даёт скорость v(t) = 2t − 6: до третьей секунды она отрицательная — тело шло назад, в момент t = 3 мгновенно остановилось, а дальше поехало вперёд с постоянным ускорением 2 м/с². Одна строка производной рассказала всю поездку.
Для многочленов производная считается по правилу степени: показатель выходит вперёд множителем и падает на единицу, а константа-слагаемое исчезает. Возьми f(x) = x⁴ − 2x³ + 3x − 7: по членам выйдет 4x³ − 6x² + 3. В калькуляторе производной эти числа и есть поля: a — при x⁴, b — при x³, c — при x², d — при x, e — свободный член. Вводишь коэффициенты и точку x₀ — получаешь значение функции, значение производной, уравнение касательной и вердикт о монотонности. В нашем примере в точке x₀ = 1 производная равна 4 − 6 + 3 = 1: функция растёт, и касательная поднимается слева направо.
Читаем график функции и график производной
Главный навык ЕГЭ-базы — не перепутать, чей график перед тобой. На графике функции f(x) экстремумы видны глазами: вершина горки — максимум, дно ямы — минимум, и в этих точках касательная горизонтальна. На графике производной f′(x) саму функцию не видно, зато видна её скорость: где график выше оси — функция возрастает, ниже оси — убывает, а нули производной — кандидаты в экстремумы. Один ноль ничего не гарантирует: настоящий максимум — это смена знака с плюса на минус, минимум — с минуса на плюс. Пример: график производной — прямая y = 2x − 8. Она пересекает ось в точке x = 4, слева отрицательна, справа положительна — значит, в точке 4 у функции минимум.
| Что на рисунке | Если это график f(x) | Если это график f′(x) |
|---|---|---|
| Выше оси x | значения функции положительны | функция возрастает |
| Ниже оси x | значения функции отрицательны | функция убывает |
| Пересекает ось x | функция равна нулю | касательная горизонтальна, возможен экстремум |
| Горка | максимум функции | производная уходит с плюса на минус |
| Яма | минимум функции | производная уходит с минуса на плюс |
Типовых вопросов в базовом ЕГЭ пять. Первый: сколько точек, где производная равна нулю, — считай пересечения графика f′(x) с осью. Второй: в скольких точках функция возрастает — ищи участки, где график производной выше оси. Третий: найди точку минимума — ноль со сменой знака с минуса на плюс. Четвёртый: найди значение производной в точке по графику касательной — считай наклон через две целые точки решётки, Δy делить на Δx: прямая через (−2; 4) и (2; −4) даёт (−4 − 4) : (2 + 2) = −2. Пятый: где касательная параллельна данной прямой — производная должна равняться её угловому коэффициенту: для f(x) = x² − 7x + 3 и прямой y = 3x + 1 это 2x − 7 = 3, то есть x = 5.
Касательная: два числа вместо целого графика
Уравнение касательной собирается из двух чисел: значения функции в точке касания и наклона в ней: y = f(a) + f′(a)(x − a). Возьмём f(x) = x² − 4x + 5 и точку a = 1. Значение: f(1) = 1 − 4 + 5 = 2. Производная: f′(x) = 2x − 4, наклон f′(1) = −2. Касательная: y = 2 − 2(x − 1), после упрощения y = −2x + 4. Проверка бесплатна: подставь a в уравнение прямой — должно выйти ровно f(a); при x = 1 прямая даёт 2, как и функция. Частая ошибка — подставить в уравнение наклон вместо значения функции: тогда точка касания уезжает с графика, и вся прямая оказывается чужой.
- Функция f(x) = x² − 4x + 5, точка a = 1. Значение функции — подставляем единицу.
- Производная по правилу степени: показатель падает на единицу, множитель выходит вперёд.
- Наклон в точке: отрицательный, значит касательная опускается слева направо.
- Собираем уравнение: значение плюс наклон на сдвиг.
- Проверка: при x = 1 прямая даёт 2 — точка касания на месте. При x = 3 прямая обещает −2, а функция даёт 2: дальше точки касания графики расходятся, так и должно быть.
- Дан график f′(x) — прямая y = 2x − 8. Спрашивают, в какой точке у функции минимум.
- Ноль производной: приравниваем к нулю и делим.
- Слева от четвёрки производная отрицательна — функция убывала, справа положительна — растёт.
- Смена знака с минуса на плюс — точка 4 минимум. Максимумом она быть не может: горки не получилось.
- Контрольные вопросы по той же картинке: где производная равна нулю — одна точка, x = 4; где функция возрастает — при x больше 4.
Ловушки и шпаргалка
| Что ищем | Как делаем | Пример |
|---|---|---|
| Значение производной в точке | наклон касательной: Δy : Δx по двум точкам | через (−2; 4) и (2; −4) — минус 2 |
| Точку максимума | ноль f′ со сменой плюса на минус | f′ = x(2 − x) в точке x = 2 |
| Точку минимума | ноль f′ со сменой минуса на плюс | f′ = 2x − 8 в точке x = 4 |
| Промежуток возрастания | график f′ выше оси | f′ = 2x − 8 при x больше 4 |
| Уравнение касательной | y = f(a) + f′(a)(x − a) | в a = 1 получаем y = −2x + 4 |
| Параллельность прямой | f′(x₀) = k | 2x − 7 = 3 даёт x = 5 |
Тот же навык чтения графика решает и задачи на наибольшее значение без всяких формул: прямоугольный участок с забором 24 метра имеет самую большую площадь при равных сторонах — 6 на 6, ровно 36 квадратных метров, потому что вершина параболы площади сидит посередине между границами. Куда двигаться дальше: научись по графику f′(x) отвечать на все пять типовых вопросов из таблицы, потом нарисуй пару графиков сам и сверься с калькулятором. После этого профильное задание на наибольшее и наименьшее значение станет продолжением того же сюжета, а не новой темой: там к чтению графика добавится только аккуратная проверка знаков.
- Производная#
- скорость изменения функции в точке; на графике — наклон касательной
- Касательная#
- прямая y = f(a) + f′(a)(x − a) с тем же наклоном, что и график в точке a
- Точка максимума#
- ноль производной со сменой знака с плюса на минус; вершина горки
- Точка минимума#
- ноль производной со сменой знака с минуса на плюс; дно ямы
- Угловой коэффициент#
- число k в уравнении прямой y = kx + m; равен тангенсу наклона
Мини-квиз на отдыхе
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какой режим подготовки эффективнее?
Частые вопросы
Как найти точку минимума по графику производной?
Найди ноль производной и проверь смену знака: слева график f′(x) ниже оси, справа выше — значит, функция сначала убывала, потом стала расти, и эта точка минимум. Просто ноль без смены знака минимумом не считается.
Как найти значение производной по графику касательной?
Отметь на касательной две целые точки решётки и раздели Δy на Δx: прямая через (−2; 4) и (2; −4) даёт (−4 − 4) : 4 = −2. Это и есть значение производной в точке касания — наклон прямой.
Чем отличается график функции от графика производной?
По графику функции видны её значения, по графику производной — скорость их изменения: где f′(x) выше оси, функция возрастает, где ниже — убывает, а нули производной — кандидаты в экстремумы. Один и тот же рисунок читается по-разному, поэтому первым делом сверься с подписью оси.
Как составить уравнение касательной в точке?
Посчитай f(a) и f′(a), затем подставь их в y = f(a) + f′(a)(x − a) и раскрой скобки. Проверь подстановкой: при x = a прямая обязана дать ровно значение f(a).