Гайд2026-09-01

Как решать задачи на растворы и концентрацию

Любая задача на растворы собирается одной таблицей «раствор, вещество, доля» и одним уравнением баланса: вещество не появляется и не исчезает. Разобрали смешивание, правило креста, разбавление, выпаривание, кристаллогидраты и четыре ошибки, которые чаще всего съедают баллы.

Лабораторная работа: нужно приготовить 250 г пятипроцентного раствора соли для опыта. Взвесить соль на глаз нельзя — на следующем шаге с этим раствором будут считать выход продукта, и вся погрешность уйдёт в ответ. Сколько брать соли и воды? Ответ — 12,5 грамма соли и 237,5 грамма воды — занимает одну строку, если держать в голове базовую модель. Ниже — эта модель и все её расширения: смешивание, крест, разбавление, выпаривание и кристаллогидраты.

Базовая модель: раствор, вещество, вода

Раствор складывается из растворённого вещества и растворителя, поэтому масса раствора равна сумме их масс. Массовая доля $w$ показывает, какую часть раствора составляет вещество, и измеряется в процентах или долях единицы: 5% — это 0,05. Проценты и доли — два языка одной величины, и в вычислениях удобнее доля: умножать на 0,05 проще, чем на 5%.

w = \frac{m _{so l u t e}}{m _{so l u t e} + m _{w a t er}} \cdot 100%

Массовая доля: масса растворённого вещества, делённая на массу всего раствора. Массы вещества и воды складываются — это же определение закрывает задачи про навески.

Готовим 250 г раствора 5% по шагам

Переводим процент в долю: 5% — это 0,05. Дальше работаем только с долями.
$5% = 0, 05$
Умножаем массу раствора на долю — получаем массу соли.
$m_{so l u t e} = 250 \cdot 0, 05 = 12, 5$
Вычитаем соль из раствора — получаем воду.
$m_{w a t er} = 250 - 12, 5 = 237, 5$
Проверяем обратным действием: 12,5 делить на 250 — ровно 5%. Ответ сошёлся.
$w = 12, 5/250 = 0, 05$

Метод таблицы: раствор — вещество — доля

Для любой задачи, где раствор меняет состояние, заводи таблицу из трёх столбцов: масса раствора, масса вещества, доля. Каждое состояние задачи — новая строка: исходные растворы, смесь, результат разбавления. Заполняй известные ячейки, недостающие выражай через связи строки: вещество равно раствору, умноженному на долю. Уравнение почти всегда возникает само — из того, что масса вещества в первой и последней строках связана условием.

Состояние	Масса раствора, г	Масса вещества, г	Доля w
Раствор 1	150	150 · 0,10 = 15	0,10
Раствор 2	250	250 · 0,20 = 50	0,20
Смесь	150 + 250 = 400	15 + 50 = 65	65 : 400 = 0,1625

Смешали 150 г десятипроцентного и 250 г двадцатипроцентного раствора — что получилось? Массы растворов просто складываются: 400 граммов. Вещество тоже складывается, но отдельно: 15 и 50 граммов, итого 65. Доля смеси — вещество делить на раствор: 65 на 400, то есть 16,25%. Записывается это одним уравнением баланса вещества:

m_{1} w_{1} + m_{2} w_{2} = (m_{1} + m_{2}) w_{3}

Баланс вещества при смешивании: сколько вещества пришло из двух растворов, столько и оказалось в смеси. Слева — массы вещества, справа — то же самое после смешивания.

Правило креста: быстрый способ для двух растворов

Конверт Пирсона, он же правило креста, решает ту же задачу смешивания без уравнения. Слева пишут доли исходных растворов, справа посередине — долю смеси, и вычитают по диагоналям: из большей доли меньшую. Получившиеся разности показывают отношение масс растворов — именно в этом порядке, крест-накрест.

Элемент креста	Значение в примере 10% + 20% → 12%	Что означает
Левый верх	10	доля первого раствора
Левый низ	20	доля второго раствора
Центр	12	желаемая доля смеси
Разность по нижней диагонали	12 − 10 = 2	масса ПЕРВОГО раствора в частях
Разность по верхней диагонали	20 − 12 = 8	масса ВТОРОГО раствора в частях

Крест на конкретных числах

Смешиваем 10% и 20%, хотим 12%. Разности по диагоналям дают 8 и 2.
$20 - 12 = 8, 12 - 10 = 2$
Отношение масс — 8 к 2, то есть 4:1: слабого раствора нужно вчетверо больше.
$m_{1} : m_{2} = 8 : 2 = 4 : 1$
Проверка на 500 граммах смеси: это 400 г десятипроцентного и 100 г двадцатипроцентного раствора.
$400 \cdot 0, 10 + 100 \cdot 0, 20 = 60$
В смеси 500 г и 60 г вещества — доля ровно 12%. Крест подтвердился.
$60/500 = 0, 12$

Разбавление водой и выпаривание

Разбавление и выпаривание — две стороны одного якоря: при добавлении или удалении чистой воды масса вещества не меняется, меняется только масса раствора. Вода в таблице — нулевая доля, поэтому она влияет лишь на знаменатель. Из неизменности вещества следует самое используемое уравнение темы:

m_{1} w_{1} = m_{2} w_{2}

Масса вещества до и после разбавления или выпаривания одинакова: слева исходный раствор, справа полученный. Отсюда сразу видно, что доля падает, если раствор вырос.

Разбавляем 50 г раствора 30% до 5%

Считаем вещество в исходном растворе: 50 граммов на 0,30.
$m_{so l u t e} = 50 \cdot 0, 30 = 15$
Вещество то же, а доля нужна 0,05 — находим новую массу раствора.
$m_{2} = 15/0, 05 = 300$
Прибавленную воду считаем разностью масс растворов.
$Δ m = 300 - 50 = 250$
Ответ: добавить 250 г воды. Проверка — 15 граммов на 300 дают ровно 5%.
$15/300 = 0, 05$

Ситуация	Масса вещества	Масса раствора	Доля w
Добавили воду	не изменилась	выросла на массу воды	упала
Выпарили воду	не изменилась	уменьшилась на массу удалённой воды	выросла
Добавили чистое вещество	выросло на массу добавки	выросла на ту же величину	выросла
Смешали два раствора	сложились массы вещества	сложились массы растворов	стала между исходными

Выпаривание работает зеркально: 200 г четырёхпроцентного раствора содержат 8 граммов соли; выпарили 150 граммов воды — осталось 50 граммов раствора с теми же восемью граммами соли, то есть 16%. Обрати внимание: доля выросла во столько же раз, во сколько сжался раствор, — делить нужно на новую массу раствора, а не на убавку воды.

Чистое вещество и кристаллогидраты

Если к раствору добавляют чистое вещество, действует та же таблица: вещество прибавляется, раствор растёт на ту же величину. К 150 г двадцатипроцентного раствора добавили 50 г соли: было 30 граммов вещества, стало 80, раствор вырос до 200 граммов — доля ровно 40%. Ошибка здесь одна: забыть, что добавленная соль увеличивает не только числитель, но и знаменатель.

Кристаллогидрат — соль, в кристалле которой спрятана вода: медный купорос $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ , кристаллическая сода. В задачу эта вода входит дважды: её масса — часть навески, но она не соль. Молярная масса купороса складывается из безводной соли и воды: 160 плюс пять раз по 18, итого 250 граммов на моль. Доля безводной соли в купоросе — 160 на 250, то есть 64%.

Четыре ошибки, которые роняют баллы

Складывать проценты нельзя: смешав 10% и 20%, получишь не 30%, а что-то между — доля смеси всегда внутри вилки исходных долей.
Делить вещество нужно на массу раствора, а не на массу воды: 10 г соли в 90 г воды — это 10%, а не 11,1%.
Масса раствора при смешивании складывается целиком, а вещество считается отдельным столбцом: потерял один из столбцов — потерял задачу.
Объёмные проценты — другая история: в воздухе 21% кислорода по объёму, и напрямую в массовые расчёты это число не переносится без плотности.

Массовая доля#: отношение массы вещества к массе раствора; 0,05 и 5% — одно и то же
Баланс вещества#: масса растворённого вещества до изменения равна его массе после, если вещество не добавляли и не удаляли
Конверт Пирсона#: правило креста: разности долей по диагоналям дают отношение масс смешиваемых растворов
Разбавление#: добавление воды: вещество не меняется, раствор растёт, доля падает
Выпаривание#: удаление воды: вещество не меняется, раствор сжимается, доля растёт
Кристаллогидрат#: соль со встроенной водой кристаллизации; её масса входит в навеску, но не в массу соли

Отработать модель лучше всего на экзаменационных сюжетах: расчёты растворов в ОГЭ собраны в разборе задания 19 /oge/himiya/zadanie-19-oge-him-rastvory-koncentracii/, смесь двух веществ — в разборе задания 22 /oge/himiya/zadanie-22-oge-him-zadacha-smes/, а в ЕГЭ за доли растворов отвечает задание 14 /ege/himiya/zadanie-14-ege-him-massovaya-dolya/. Быстро проверить арифметику можно в калькуляторе массовой доли /calc/massovaya-dolya/ и в процентном калькуляторе /calc/procenty/. Теорию темы повтори на уроке про растворы восьмого класса /himiya/8-klass/rastvory/, а расчётные задачи с избытком и выходом продукта — на практикуме девятого /himiya/9-klass/praktikum-raschetov-9/. Та же таблица-методика для физических задач разобрана в гайде /guides/kak-reshat-zadachi-po-fizike/.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Можно ли складывать проценты при смешивании двух растворов?

Нельзя: доля смеси всегда лежит между долями исходных растворов, а не превышает их. Смешивание описывается уравнением баланса вещества или правилом креста, а проценты складывать бессмысленно, потому что они относятся к разным массам.

Что делать в задаче, если дан кристаллогидрат, например медный купорос?

Сначала пересчитай навеску: часть кристаллогидрата — это встроенная вода. Найди долю безводной соли через молярные массы и умножь на неё массу навески. Полученную массу соли используй в обычной таблице «раствор — вещество — доля», а воду кристаллогидрата прибавь к массе воды.

Чем правило креста отличается от уравнения баланса?

Ничем по результату: крест — это свёрнутое решение того же уравнения баланса вещества для двух растворов. Уравнение универсальнее и показывает ход мысли, крест быстрее и удобен для проверки. На экзамене надёжнее уравнение, крест — для самопроверки и устного счёта.

Почему при разбавлении водой масса вещества не меняется?

Потому что добавляется чистая вода, в которой растворённого вещества ноль граммов. Масса раствора растёт на массу добавленной воды, знаменатель доли увеличивается, а числитель остаётся прежним — поэтому доля падает. Тот же якорь работает и при выпаривании, только доля растёт.

Как быстро перевести проценты в доли и обратно?

Доля — это процент, делённый на сто: 5% равно 0,05. Обратно — долю умножить на сто и дописать знак процента. В вычислениях держи долю, в ответе при необходимости верни проценты: смешивать оба языка в одной задаче — верный способ потерять запятую.