Как решать задачи на вероятность: пошаговый метод

На кубике выпала шестёрка, в лотерейном билете не совпало ничего, а реклама обещает «95% шанс». Все три фразы про вероятность, но только с кубиком всё честно: исходы можно пересчитать пальцами. Метод школьных задач один и не меняется от класса к классу: посчитай все равновозможные исходы, выдели среди них благоприятные, раздели первое на второе. Хитрость не в формуле, а в честном подсчёте исходов: почти все ошибки — это «забытый» исход или сложение вероятностей там, где события пересекаются. Дальше — алгоритм по шагам, три разбора с числами и таблица приёмов для «или», «и» и «хотя бы один».

Один шаг, который решает половину задач

Вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех равновозможных: $P=m:n$, где n — число всех исходов, m — число благоприятных. Ключевые слова «равновозможные»: метод работает, только когда все исходы имеют равные шансы, как грани честного кубика или карты из перемешанной колоды. Кубик и событие «выпало чётное»: всего исходов 6, чётных среди них 3, вероятность $3/6=1/2$. Половина задач решается этой одной строкой, если аккуратно посчитаны n и m. Ответ оставляй дробью: $1/6$ точнее, чем 0,17 с округлением, и в бланке дробь принимается всегда.

Алгоритм по шагам

1. Выпиши эксперимент: что бросаем, сколько раз, какое событие считаем.
2. Перечисли все равновозможные исходы и посчитай n. При двух кубиках исход — пара чисел, всего 36 пар.
3. Выдели благоприятные исходы и посчитай m. Проверь, что каждый из них есть и в общем списке.
4. Раздели m на n и сверь с границами: вероятность обязана быть от 0 до 1.
5. Запиши ответ дробью, если в условии не требуется десятичная запись.

Главная привычка, которую стоит натренировать, — считать n до того, как смотришь на вопрос. С одним кубиком n = 6, с двумя — 36, монета, брошенная дважды, даёт 4 исхода. Сомневаешься, все ли исходы посчитал, — выписывай их списком или таблицей: шесть строк и шесть столбцов для пары кубиков занимают полминуты и снимают вопрос «а не забыл ли я пару». Пропущенный исход уменьшает знаменатель, и вероятность уезжает вверх — это самая тихая ошибка темы, в готовом ответе её не видно.

Проверка «от нуля до единицы» — не формальность. Если вышло 1,2 или −0,3, где-то потерян минус или посчитано лишнее. Вероятность 0 означает невозможное событие, 1 — достоверное: «кубик покажет число от 1 до 6» случится наверняка. Удобная прикидка: сравни m и n глазами — если благоприятных больше половины, ответ обязан быть больше $1/2$, и «0,2» здесь сразу подозрителен.

Проценты и дроби переводятся друг в друга мгновенно: 25% — это 1/4, а 0,3 — это 3/10. Если ответ требуется в процентах, умножь дробь на сто: вероятность 3/8 — это 37,5%. В бланках ОГЭ и ЕГЭ внимательно читай, в каком виде просят ответ: часть заданий принимает только десятичную дробь, часть — только обыкновенную. Перепроверить формат дешевле, чем потерять балл на верно решённой задаче.

«Или», «и» и «хотя бы один»

Событие «случится A или B» складывается, но только для несовместных событий — тех, что не могут произойти вместе. На кубике «единица или шестёрка»: $1/6+1/6=1/3$. А вот «чётное или больше трёх» складывать нельзя: четвёрка и шестёрка подходят обоим событиям, и простое сложение посчитало бы их дважды. Событие «случатся A и B» умножается для независимых событий: два броска монеты дают «два орла» с вероятностью $1/2\cdot 1/2=1/4$. Приём «хотя бы один» почти всегда решается через противоположное: посчитай вероятность, что не случилось ни одного, и вычти из единицы. Два выстрела с вероятностью попадания 0,8: оба промаха $0,2\cdot 0,2=0,04$, значит «хотя бы одно попадание» — это 0,96.

Порядок действий всегда один: сначала определи, что за события перед тобой, и только потом выбирай операцию. Вопрос-разделитель звучит так: могут ли оба события случиться в одном испытании? Могут — простое сложение без поправки на пересечение запрещено. События из разных испытаний и не влияют друг на друга — умножай. В задачах с монетами и кубиками независимость обычно подразумевается, а вот в задачах с ящиками без возвращения её нет: первая вынутая ручка меняет состав для второй. Слова «наугад», «по очереди», «не возвращая» — это сигналы пересчитать и числитель, и знаменатель для второго шага.

Когда метод не работает

Классическая формула требует равновозможных исходов, и когда их нет, деление m на n врёт. Вероятность дождя 70% — это не «70 дней из 100 дождливые», а статистика прошлых лет; утяжелённый кубик тоже не описывается подсчётом граней. Второе ограничение — зависимость: вынул конфету и не вернул — состав изменился, и для второй конфеты знаменатель уже другой. В коробке 6 конфет, 2 с орехом: обе с орехом подряд — это $2/6\cdot 1/5=1/15$, а не $1/3\cdot 1/3$. Третье: события могут быть связаны — «первый кубик показал 6» и «сумма больше 10» зависят друг от друга, умножать их нельзя. В сложных случаях рисуй дерево исходов: оно перебирает варианты за тебя и не даёт потерять ветку.