Гайд2026-09-01

Шпаргалка по алгебре 8 класс: формулы, уравнения и графики в таблицах

Q: Почему нельзя сокращать слагаемые в дроби?

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на один и тот же множитель. Слагаемые множителями не являются: в дроби с числителем «а плюс бэ» буква бэ не делит сумму целиком. Чтобы сократить, разложи числитель на множители и сокращай целиком скобки.

Q: Как понять, сколько корней у квадратного уравнения?

Посчитай дискриминант: больше нуля — два корня, равен нулю — один, меньше нуля — действительных корней нет. У неполных уравнений считай по виду: если свободного члена нет, один из корней всегда ноль, а если нет слагаемого с иксом, корни противоположны друг другу.

Q: Почему при делении на минус знак неравенства меняется?

Деление на отрицательное число переворачивает порядок чисел на оси: из «минус два икс меньше шести» после деления на минус два получается «икс больше минус трёх». Числа поменялись местами, поэтому и знак обязан смениться, иначе неравенство станет неверным.

Q: Чем парабола отличается от гиперболы на графике?

Парабола — симметричная кривая с вершиной, у которой есть ось симметрии. Гипербола — две ветви, которые прижимаются к осям координат и никогда их не пересекают: оси служат ей асимптотами. По этим признакам графики различаются мгновенно даже без формул.

Вся алгебра восьмого класса в таблицах: дроби с переменной в знаменателе, квадратные уравнения с дискриминантом и Виетом, метод интервалов, корни, степени и графики. Каждое правило — с колонкой «где ошибаются».

Восьмой класс — год, когда алгебра становится взрослой: вместо простых уравнений приходят дроби с буквами в знаменателе, квадратные уравнения и неравенства, у которых ответ — не число, а промежуток. Оценки падают не столько от сложности, сколько от накопленных мелких ловушек: минус перед скобкой, выколотая точка, неучтённая область определения. Шпаргалка собрана под контрольные: в каждой таблице три колонки — что искать, правило и место, где чаще всего теряют баллы. Прогон простой: закрой правую колонку листом бумаги, вспомни правило вместе с типичной ошибкой, сверься. Полчаса накануне контрольной — и большинство ловушек встречает тебя как старые знакомые, а не как сюрпризы.

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональное выражение — то, где есть деление на выражение с переменной. Пока в знаменателе буква, у дроби есть область допустимых значений: все числа, при которых знаменатель не равен нулю. Поэтому первое действие с любой дробью — взгляд на знаменатель и вопрос: при каких значениях он обращается в ноль? Эти значения в ответ не входят. Дальше работают обычные правила дробей: для сложения и вычитания нужен общий знаменатель и дополнительные множители к каждому числителю, при умножении перемножаются числители и знаменатели, при делении вторая дробь переворачивается. Сокращать можно только множители — целиком разложенные на скобки куски, но не отдельные слагаемые. Разложение на множители здесь главный инструмент: почти каждое сокращение начинается с вынесения общего множителя или с формулы сокращённого умножения из седьмого класса.

Что делаем	Правило	Где ошибаются
Область определения	знаменатель не равен нулю	записывают ответ, не исключив корни, обнуляющие знаменатель
Сложение и вычитание	общий знаменатель и дополнительные множители	складывают числители и знаменатели отдельно
Минус перед скобкой	$a - \frac{b - c}{d} = \frac{a d - b + c}{d}$	второе слагаемое скобки не разворачивают
Умножение	числитель на числитель, знаменатель на знаменатель	перемножают до сокращения и тонут в больших числах
Деление	первая дробь умножается на перевёрнутую вторую	переворачивают первую дробь вместо второй
Сокращение	только общие множители: разложи на скобки	сокращают слагаемые: $\frac{a + b}{b} \neq = a$

Квадратные уравнения: дискриминант и Виет

Квадратное уравнение имеет вид $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a \neq = 0$ . План решения всегда один: приведи уравнение к стандартному виду, выпиши коэффициенты, посчитай дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ и по его знаку реши, что делать дальше. Дискриминант — это буквально «различитель»: он различает уравнения с двумя корнями, одним и без корней. Отдельная история — неполные уравнения: если $b = 0$ , уравнение решается переносом и извлечением корня, если $c = 0$ , общий множитель $x$ выносится за скобку, и один из корней всегда ноль. Теорема Виета связывает корни с коэффициентами приведённого уравнения: сумма корней равна минус второму коэффициенту, произведение — свободному члену. Виета удобно использовать в обе стороны: находить корни устно у простых уравнений и проверять найденные по формуле.

Случай	Что делать	Где ошибаются
Дискриминант	$D = b^{2} - 4 a c$	путают знаки: при $b = - 5$ квадрат равен $25$ , минус исчез
Формула корней	$x = \frac{- b \pm D}{2 a}$	забывают минус перед $b$ : при $b = - 5$ числитель начинается с $5$
$D = 0$	один корень $x = - \frac{b}{2 a}$	пишут «нет корней», хотя корень есть, просто единственный
$D < 0$	действительных корней нет	продолжают извлекать корень из отрицательного числа
Неполное $a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ , корни противоположны	теряют отрицательный корень
Теорема Виета	для $x^{2} + p x + q = 0$ : сумма корней $- p$ , произведение $q$	забывают минус у суммы: для $x^{2} - 7 x + 12$ сумма корней равна $7$

Алгоритм: решить уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Приведи уравнение к стандартному виду $a x^{2} + b x + c = 0$ : всё перенеси влево, справа оставь ноль. Здесь уже готово: $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = - 3$ .
Посчитай дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c = 25 + 24 = 49$ . Число положительное — корней будет два.
Извлеки корень и подставь в формулу: $x = \frac{- ( - 5 ) \pm 49}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$ .
Получи два корня: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 0, 5$ .
Проверь Виетом: сумма $2, 5 = \frac{5}{2}$ , произведение $- 1, 5 = - \frac{3}{2}$ — совпало с коэффициентами, значит, корни верные.

Неравенства: метод интервалов

Линейное неравенство решается как уравнение с одним отличием: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Из $- 2 x < 6$ делением на $- 2$ получается $x > - 3$ , а не $x < - 3$ — это самый частый минус на контрольной. Квадратные и дробно-рациональные неравенства удобнее решать методом интервалов: перенеси всё в одну сторону, разложи на множители, отметь на оси нули числителя и знаменателя, определи знак на крайнем правом интервале и расставь знаки, чередуя их при переходе через простой корень. Ответ — промежутки с нужным знаком, причём нули знаменателя выкалываются всегда, а нули числителя закрашиваются только у нестрогих неравенств со знаками меньше или равно и больше или равно. В конце подставь любую точку из ответа в исходное неравенство — проверка на пятнадцать секунд.

Ситуация	Правило	Где ошибаются
Деление на отрицательное	знак неравенства меняется	делят без переворота знака: из $- 2 x < 6$ выходит $x > - 3$
Метод интервалов	на ось идут нули числителя и знаменателя	забывают нули знаменателя — их выкалывают всегда
Строгое и нестрогое	у строгих точки выколоты, у нестрогих закрашены	закрашивают точку у строгого неравенства
Кратные корни	через корень чётной кратности знак не меняется	рисуют смену знака в каждой точке подряд
Ответ	промежутки, а не отдельные числа	записывают корни вместо промежутков
Проверка	подставь точку из промежутка в исходное	проверяют подстановкой корней, а не точек из ответа

Корень, степень с целым показателем и графики

Объект	Свойство	Где ошибаются
Корень из квадрата	$a^{2} = ∣ a ∣$	пишут $a$ без модуля и теряют знак при $a < 0$
Корень из произведения	$ab = a \cdot b$ при $a, b \geq 0$	применяют к отрицательным подкоренным значениям
Отрицательный показатель	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ при $a \neq = 0$	считают минус знаком результата: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , а не $- 8$
Степень дроби	$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	переворачивают только числитель или только знаменатель
Парабола $y = a x^{2} + b x + c$	ветви вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$	судят о ветвях по знаку $c$ , хотя он отвечает за сдвиг по оси $y$
Вершина параболы	$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$	теряют минус: при $b < 0$ вершина уходит в положительную сторону
Гипербола $y = k / x$	при $k > 0$ ветви в I и III четвертях, при $k < 0$ во II и IV	определяют четверти по знаку $x$ , а решает знак $k$

Утверждение 1 из 6

Корень из квадрата числа равен модулю этого числа

Верно или нет: шесть утверждений восьмого класса

Каждое утверждение — типичный ответ на контрольной. Найди три верных и три ошибочных.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Почему нельзя сокращать слагаемые в дроби?

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на один и тот же множитель. Слагаемые множителями не являются: в дроби с числителем «а плюс бэ» буква бэ не делит сумму целиком. Чтобы сократить, разложи числитель на множители и сокращай целиком скобки.

Как понять, сколько корней у квадратного уравнения?

Посчитай дискриминант: больше нуля — два корня, равен нулю — один, меньше нуля — действительных корней нет. У неполных уравнений считай по виду: если свободного члена нет, один из корней всегда ноль, а если нет слагаемого с иксом, корни противоположны друг другу.

Почему при делении на минус знак неравенства меняется?

Деление на отрицательное число переворачивает порядок чисел на оси: из «минус два икс меньше шести» после деления на минус два получается «икс больше минус трёх». Числа поменялись местами, поэтому и знак обязан смениться, иначе неравенство станет неверным.

Чем парабола отличается от гиперболы на графике?

Парабола — симметричная кривая с вершиной, у которой есть ось симметрии. Гипербола — две ветви, которые прижимаются к осям координат и никогда их не пересекают: оси служат ей асимптотами. По этим признакам графики различаются мгновенно даже без формул.