10 XP
ЕГЭ · Информатика · задание 151 балл · ≈5 мин

Задание 15 ЕГЭ: Логические высказывания: наибольшее и наименьшее число

Дано сложное высказывание с И, ИЛИ и НЕ, и нужно найти наибольшее (или наименьшее) целое число, при котором высказывание истинно или ложно. Вся задача — в аккуратном раскрытии отрицаний по правилу де Моргана: НЕ(A И B) = НЕ A ИЛИ НЕ B, а НЕ(A ИЛИ B) = НЕ A И НЕ B. После этого условие превращается в обычные неравенства, которые решаются на числовой прямой. Теряют балл, когда ищут «истинно» там, где спрашивают «ложно», или забывают, что наибольшее целое числа вида «x < 8» — это 7, а не 8.

Все задания Информатика

Что проверяет задание

Алгебра логики. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

Де Морган: отрицание И — это ИЛИ отрицаний
Де Морган: отрицание ИЛИ — это И отрицаний
Наибольшее целое при строгом неравенстве
Конъюнкция требует истинности всех частей

Разбор типовых задач

Пример 1

Найдите наибольшее целое число x, при котором истинно высказывание: (x·x ≥ 49) И (x < 8)?

Решение по шагам
  1. Разбираем обе части: x² ≥ 49 означает |x| ≥ 7, то есть x ≤ −7 или x ≥ 7.
  2. Вторая часть: x < 8 — все целые до 7 включительно.
  3. Конъюнкция И требует истинности обеих частей одновременно: пересечение — это x ≥ 7 вместе с x < 8, то есть x = 7 (плюс вся ветка x ≤ −7).
  4. Наибольшее целое из пересечения: 7.
  5. Проверка: 7² = 49 ≥ 49 — истинно, и 7 < 8 — истинно. Число 8 не подходит: 8 < 8 ложно.

Ответ: 7

Пример 2

Найдите наибольшее натуральное число x, при котором ЛОЖНО высказывание: (x кратно 6) ИЛИ (x > 20)?

Решение по шагам
  1. Отрицание дизъюнкции по де Моргану: НЕ(A ИЛИ B) = НЕ A И НЕ B.
  2. Значит высказывание ложно, когда (x НЕ кратно 6) И (x ≤ 20).
  3. Ищем наибольшее натуральное x ≤ 20, не кратное 6: кандидаты 20, 19, 18…
  4. 20 не делится на 6 — подходит. Итог: 20.
  5. Проверка соседа: 21 > 20, значит для 21 высказывание истинно — всё сходится.

Ответ: 20

Пример 3

Сколько натуральных чисел x удовлетворяет условию: (x < 18) И НЕ(x кратно 3)?

Решение по шагам
  1. Раскрываем НЕ: условие означает x < 18 И x НЕ кратно 3.
  2. Натуральные x < 18 — это числа от 1 до 17, всего 17 чисел.
  3. Убираем кратные трём: 3, 6, 9, 12, 15 — пять чисел.
  4. Остаётся 17 − 5 = 12 чисел.
  5. Проверка списком: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17 — действительно 12.

Ответ: 12

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Найдите наибольшее целое положительное x, при котором истинно: (x·x ≤ 8·8) И (x > 0)?

Найдите наименьшее натуральное x, при котором истинно: (x кратно 5) И (x > 12)?

Найдите наименьшее целое x, при котором истинно: НЕ(x > 11) И (x > 3)?

Сколько целых чисел x удовлетворяет условию: (x ≥ 5) И (x ≤ 15)?

Для какого из чисел ЛОЖНО высказывание: (x > 5) ИЛИ (x < 3)?

Высказывание НЕ(A И B) истинно тогда и только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний A и B.

Найдите наибольшее целое положительное x, при котором истинно: (x·x ≤ 8·8) И (x > 0)?

Найдите наименьшее натуральное x, при котором истинно: (x кратно 5) И (x > 12)?

Типичные ошибки

  • Отвечают про истинность, когда спрашивали ложность (и наоборот): выдели в условии слово НЕ и слово ИСТИННО/ЛОЖНО.
  • Наибольшее целое при строгом неравенстве x < 8 называют 8: целых чисел между границей много, максимальное здесь 7.
  • Раскрывают НЕ только над первой частью выражения: отрицание должно «разойтись» по всему выражению по де Моргану.
  • Считают числа на отрезке как (b − a): включительно концов даёт b − a + 1.

Повторить теорию по информатике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 15 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈5 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: алгебра логики. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 15

Как найти наибольшее целое x, при котором истинно высказывание?

Сведи высказывание к системе неравенств и возьми самое большое целое из пересечения решений. Не забудь про строгость неравенств: x < 8 даёт максимум 7.

Что делать, если в условии ЛОЖНО перед сложным высказыванием?

Примени де Моргана: ложность A ИЛИ B — это истинность НЕ A И НЕ B, и наоборот. После этого задача сводится к обычному поиску числа.

Как считать количество целых чисел на отрезке?

Формула b − a + 1 для отрезка от a до b включительно. На интервале без концов — b − a − 1.

Почему НЕ(x кратно 6) важнее кратности при поиске ложности ИЛИ?

Ложность A ИЛИ B требует ложности ОБЕИХ частей: число должно быть одновременно не кратно 6 и не больше 20 — ищи наибольшее такое.

Похожие задания