ЕГЭ · Информатика · задание 21 балл · ≈5 мин

Задание 2 ЕГЭ: Таблица истинности: определить столбец переменной

Дана логическая функция от трёх переменных и таблица истинности с безымянными столбцами; нужно определить, какой переменной соответствует каждый столбец. Метод: рассмотрим строку, где функция равна известному значению, и проверим все варианты распределения переменных по столбцам, отбрасывая противоречащие. Ошибку чаще всего делают, проверяя только одну строку: столбец определяется однозначно только тогда, когда все строки таблицы согласованы с функцией.

Все задания Информатика

Что проверяет задание

Логика и таблицы истинности. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

\neg A \lor (B \land C)

Пример функции: ложна только тогда, когда A истинно и B ∧ C ложно

F = 0 \Leftrightarrow A = 1, B \land C = 0

Для дизъюнкции F = 0 возможно лишь при обоих слагаемых, равных 0

F = 1 \Leftrightarrow \neg A = 1 \lor B \land C = 1

Для дизъюнкции F = 1 достаточно одного истинного слагаемого

Разбор типовых задач

Пример 1

Дана функция F(A, B, C) = ¬A ∨ (B ∧ C). В таблице истинности три столбца с заголовками X, Y, Z — это переменные A, B, C в неизвестном порядке. Известно, что в строке, где значения столбцов равны (X = 1, Y = 0, Z = 0), функция ложна, а в строке (X = 0, Y = 1, Z = 1) функция истинна. Определите, какой переменной соответствует столбец X.

Решение по шагам

Функция ¬A ∨ (B ∧ C) ложна только когда ¬A = 0 и B ∧ C = 0, то есть при A = 1 и хотя бы одной из B, C, равной 0.
В строке X = 1, Y = 0, Z = 0 функция должна быть ложна, значит X должно быть равно A: тогда A = 1 и B ∧ C = 0 из-за нулей в двух других столбцах.
$F = 0 \Rightarrow A = 1$
Проверяем вторую строку: X = 0, Y = 1, Z = 1. Если X = A, то A = 0, тогда ¬A = 1 и функция истинна при любых B и C — всё сходится.
Контрпроверка: если бы X был B или C, то в первой строке A пришлось бы взять из столбца с нулём, и ¬A = 1 сделало бы функцию истинной — противоречие. Значит, столбец X соответствует переменной A.

Ответ: Столбец X — переменная A

Пример 2

Для той же функции F(A, B, C) = ¬A ∨ (B ∧ C) даны две строки таблицы истинности со столбцами X, Y, Z: строка (X = 1, Y = 1, Z = 0) со значением F = 0 и строка (X = 0, Y = 1, Z = 1) со значением F = 1. Определите, какой переменной соответствует столбец X.

Решение по шагам

Функция ложна только при A = 1 и B ∧ C = 0; в первой строке F = 0, значит в этой строке A = 1.
$F = 0 \Rightarrow A = 1$
В первой строке единица стоит в столбцах X и Y, поэтому A может соответствовать только X или Y — других кандидатов нет.
Проверяем вторую строку с гипотезой «A в столбце Y»: тогда A = 1, и для F = 1 нужно B ∧ C = 1, то есть обе оставшиеся переменные равны 1, но X = 0 — противоречие.
Остаётся гипотеза «A в столбце X»: во второй строке A = 0, тогда ¬A = 1 и функция истинна при любых B и C — противоречий нет. Значит, столбец X — переменная A.

Ответ: Столбец X — переменная A

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Дана функция F(A, B, C) = ¬A ∨ (B ∧ C). При каких значениях переменных функция ложна?

Функция F(A, B, C) = A ∧ (¬B ∨ C). Сколько существует наборов значений переменных, при которых F = 1?

Сколько строк в полной таблице истинности логической функции от 3 переменных?

Сколько единиц в столбце значений логической функции от 2 переменных, если функция истинна на всех наборах, кроме ровно одного?

Дана функция F(A, B, C) = ¬A ∨ (B ∧ C). При каких значениях переменных функция ложна?

Функция F(A, B, C) = A ∧ (¬B ∨ C). Сколько существует наборов значений переменных, при которых F = 1?

Сколько строк в полной таблице истинности логической функции от 2 переменных?

Сколько единиц в столбце значений логической функции от 3 переменных, если функция истинна на всех наборах, кроме ровно одного?

Типичные ошибки

Определяют столбец по одной строке и не проверяют остальные — подходящих расстановок может оказаться несколько.
Путают приоритет операций: сначала выполняют дизъюнкцию, а потом отрицание, хотя отрицание сильнее, а конъюнкция сильнее дизъюнкции.
Забывают, что в задании столбцы могут идти в любом порядке, и переносят порядок переменных из записи функции в таблицу.

Стратегия на экзамене. Выпиши условие истинности и ложности функции целиком, а не только для одной строки. Найди самую жёсткую строку таблицы — обычно ту, где функция ложна или где единицы и нули расставлены редко, — и по ней сузь варианты распределения переменных. Каждую гипотезу проверь на всех строках таблицы, а не только на той, по которой делала вывод. Выбирай ту расстановку, которая согласована со всеми строками одновременно, и убедись, что она ровно одна.

Повторить теорию по информатике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 2 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈5 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: логика и таблицы истинности. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 2

Как решать задание 2 ЕГЭ по информатике?

Выпишите таблицу, подставьте под столбцы первую гипотезу о порядке переменных и проверьте каждую строку. Быстрее идти от строки, где функция принимает редкое значение — например, ложна, если функция почти всегда истинна.

Зачем проверять все строки, если одна уже подошла?

Потому что одна строка обычно оставляет несколько допустимых расстановок переменных. Однозначный ответ даёт только та расстановка, которая согласована со всеми строками таблицы.

Каков порядок выполнения логических операций?

Сначала отрицание, затем конъюнкция, затем дизъюнкция; импликация и эквивалентность слабее дизъюнкции. Скобки меняют порядок и всегда выполняются первыми.