10 XP
ЕГЭ · Информатика · задание 211 балл · ≈7 мин

Задание 21 ЕГЭ: Выигрышная стратегия в игре

Два игрока по очереди берут из кучи 1, 2 или 3 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Требуется найти выигрышный первый ход или назвать победителя при безошибочной игре обоих. Типичная потеря балла — проверка не всех ответов соперника: ход выигрышный, только если он ведёт к победе при любом варианте игры соперника.

Все задания Информатика

Что проверяет задание

Теория игр: куча камней. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

При взятии 1, 2 или 3 камня позиции с числом камней, кратным 4, проигрышны для того, чья очередь ходить
После хода x камней в куче остаётся S - x; выигрышный ход оставляет сопернику проигрышную позицию

Разбор типовых задач

Пример 1

В куче 7 камней, за ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первый игрок первым ходом взял 3. Почему теперь он выигрывает при любой игре соперника?

Решение по шагам
  1. После первого хода в куче осталось 4 камня — проигрышная позиция для того, чья очередь.
  2. Если второй возьмёт 1, останется 3, и первый заберёт все 3. Если второй возьмёт 2, останется 2, и первый возьмёт 2. Если второй возьмёт 3, останется 1, и первый возьмёт 1.
  3. В каждом варианте после ответного хода первого камней не остаётся: второй не может сделать ход и проигрывает.

Ответ: выигрывает первый игрок: первым ходом взять 3 камня

Пример 2

В куче 4 камня, за ход можно взять 1, 2 или 3 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих?

Решение по шагам
  1. Разберём все первые ходы: взяв 1 камень, первый оставит 3; взяв 2 — оставит 2; взяв 3 — оставит 1.
  2. Во всех трёх случаях второй игрок забирает оставшиеся камни одним ходом.
  3. После этого первый не может сделать ход и проигрывает, значит позиция с 4 камнями проигрышна для начинающего.

Ответ: выигрывает второй игрок

Пример 3

В куче 6 камней, за ход берут 1, 2 или 3 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какой первый ход гарантирует победу начинающему?

Решение по шагам
  1. Пробуем взять 2: в куче останется 4 камня — проигрышная позиция для соперника.
  2. Дальше первый после каждого хода соперника возвращает кучу к кратному 4: соперник взял 1 — первый берёт 3; соперник взял 2 — первый берёт 2; соперник взял 3 — первый берёт 1.
  3. Итог: после каждого раунда в куче кратное четырём число камней, и последние камни забирает первый игрок.

Ответ: выигрышный ход: взять 2 камня

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Игра с кучей: за ход разрешено брать 1, 2, 3 или 4 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первый игрок не ошибся ни разу: каждый его ход был ровно по 3 камня, всего он сделал 4 ходов, и после его последнего хода камни кончились. Сколько камней было в куче в начале?

В куче 9 камней, за ход можно брать от 1 до 4 камней. Первый игрок первым ходом взял 2 камня. Сколько камней осталось в куче?

Партия закончилась, когда камни в куче кончились. Первый игрок за всю партию взял 15 камней, второй — 9 камней. Сколько камней было в куче в начале игры?

В куче 20 камней, за ход берут от 1 до 4 камней. Первый игрок сделал 3 ходов, каждый ровно по 3 камня; все остальные камни до конца партии забрал второй игрок. Сколько камней всего взял второй игрок?

В куче 6 камней, за ход можно взять 1, 2 или 3 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Каким должен быть первый ход начинающего, чтобы выиграть при любой игре соперника?

В игре, где за ход берут 1, 2 или 3 камня и проигрывает тот, кто не может сделать ход, позиция с 8 камнями выигрышна для игрока, чья очередь ходить.

Игра с кучей: за ход разрешено брать 1, 2, 3 или 4 камня, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первый игрок не ошибся ни разу: каждый его ход был ровно по 3 камня, всего он сделал 3 ходов, и после его последнего хода камни кончились. Сколько камней было в куче в начале?

В куче 9 камней, за ход можно брать от 1 до 4 камней. Первый игрок первым ходом взял 4 камня. Сколько камней осталось в куче?

Типичные ошибки

  • Проверяют не все ответы соперника: выигрышный ход должен вести к победе при любом варианте, а не при удачном.
  • Путают условие конца: проигрывает тот, кто не может сделать ход, а не тот, кто взял последний камень.
  • Называют позицию выигрышной без проверки всех ходов из неё: нужно, чтобы существовал ход в проигрышную позицию соперника.
  • Рассчитывают на промах соперника: при разборе оба игрока ходят без ошибок.

Повторить теорию по информатике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 21 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈7 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: теория игр: куча камней. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 21

Как найти выигрышную позицию в игре с камнями?

Разбирай позиции с конца: пустая куча проигрышна для того, чья очередь ходить. Дальше позиция выигрышна, если из неё есть ход в проигрышную, и проигрышна, если все ходы ведут в выигрышные позиции.

Что значит «гарантированно выиграть» в задании 21?

Первый ход ведёт к победе при любом ответе соперника, а не только при удачном. Поэтому в разборе перебирай все варианты хода соперника и показывай выигрышный ответ на каждый из них.

Что меняется, если можно брать не 1-3, а 1-4 камня?

Меняется кратность проигрышных позиций: при взятии 1-4 камня они кратны 5. Из кратного пяти любой ход уводит с кратности, и соперник всегда может вернуть кучу к кратному пяти.

Похожие задания