10 XP
ЕГЭ · Информатика · задание 192 балла · ≈8 мин

Задание 19 ЕГЭ: Теория игр: выигрышная стратегия, камни на столе

Два игрока по очереди меняют кучу камней: добавить один, добавить два или удвоить; выигрывает тот, после чьего хода камней станет не меньше порога. Обычно просят найти выигрышный ход Пети или показать, что Ваня отвечает при любом ходе первого. Решение — перебор трёх ходов и сравнение с порогом. Типичная потеря балла — не разобраны все ходы соперника: «правильная игра» требует худшего для тебя ответа.

Все задания Информатика

Что проверяет задание

Игры с камнями. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

Три возможных хода из кучи в S камней
Условие выигрыша: игрок выигрывает, когда после его хода камней не меньше порога N
Позиция выигрышна, если из неё есть ход в проигрышную позицию

Разбор типовых задач

Пример 1

В куче 26 камней. Игроки по очереди добавляют 1 камень, добавляют 2 камня или удваивают кучу. Выигрывает тот, после чьего хода в куче окажется не меньше 29 камней. Может ли Петя выиграть первым ходом, и каким?

Решение по шагам
  1. Перебираем три хода Пети: 26 + 1 = 27, 26 + 2 = 28, 26 · 2 = 52.
  2. Порог 29: 27 и 28 не дотягивают, удвоение даёт 52 — порог пройден.
  3. Петя выигрывает первым ходом удвоением.

Ответ: удвоением

Пример 2

Та же игра: порог 29, ходы +1, +2 и удвоение. В куче 14 камней, Петя ходит первым. Почему Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети?

Решение по шагам
  1. Ходы Пети: 14 + 1 = 15, 14 + 2 = 16, 14 · 2 = 28 — порог 29 не достигнут ни одним.
  2. Ответ Вани на 15: удвоение даёт 30 ≥ 29; на 16: удвоение даёт 32; на 28: достаточно 28 + 1 = 29.
  3. На каждый из трёх ходов Пети у Вани есть немедленно выигрышный ответ — значит, Ваня выигрывает.

Ответ: Ваня выигрывает первым ходом

Пример 3

Куча 27 камней, порог 29, ходы +1, +2 и удвоение. Перечисли ходы Пети и укажи, какие из них выигрышные сразу.

Решение по шагам
  1. Ходы: 27 + 1 = 28, 27 + 2 = 29, 27 · 2 = 54.
  2. 28 меньше порога — не выигрыш. 29 равно порогу, а «не меньше» включает равенство — выигрыш. 54 тоже выигрыш.
  3. Выигрышных ходов два: +2 и удвоение.

Ответ: два хода: +2 и удвоение

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

В куче 6 камней. Игрок сначала делает ход «+2», потом ход «удвоить». Сколько камней окажется в куче после этих двух ходов?

Из кучи в 8 камней Петя сходил удвоением, после чего Ваня добавил 3 камней. Сколько камней стало в куче?

Выигрывает тот, после чьего хода в куче окажется не меньше 40 камней. Ходы: +1, +2, удвоение. При каком наименьшем s Петя выигрывает первым ходом «+2»?

Из кучи в 5 камней рассматривают все три хода: +1, +2 и удвоение. Найди сумму количеств камней, которые окажутся в куче после каждого из трёх ходов.

Порог выигрыша — 29 камней, ходы +1, +2, удвоение. В куче 14 камней, ходит Петя. Что верно?

Удвоение кучи — гарантированный выигрыш при любом стартовом числе камней.

В куче 11 камней. Игрок сначала делает ход «+2», потом ход «удвоить». Сколько камней окажется в куче после этих двух ходов?

Из кучи в 7 камней Петя сходил удвоением, после чего Ваня добавил 3 камней. Сколько камней стало в куче?

Типичные ошибки

  • Считают только удвоение: для маленьких куч оно не дотягивает до порога, а ход +2 спасает.
  • Забывают, что «не меньше порога» — это ≥: куча, где камней ровно порог, уже выигрышная.
  • Приписывают ходы Вани Пете: первым всегда ходит тот, кто указан в условии.
  • Заявляют «Ваня выигрывает», разобрав один ход Пети, — нужен ответ Вани на каждый из трёх ходов.

Повторить теорию по информатике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 19 на экзамене

Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈8 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: игры с камнями. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 19

Как решать задание 19 ЕГЭ по информатике с камнями?

Выпиши три возможных хода из стартовой кучи и сравни каждый с порогом выигрыша. Ответ — ход или имя игрока, как требует условие.

Что значит «выигрышная стратегия»?

Это правило выбора ходов, при котором игрок выигрывает при любых ответах соперника. В задании 19 обычно достаточно показать один выигрышный ход.

Почему в задании 19 нужно проверять все ходы соперника?

Потому что соперник играет правильно и выберет ход, выгодный ему. Чтобы заявить «Ваня выиграет при любой игре Пети», надо разобрать все три хода Пети.

Похожие задания