Физика · 9 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Механические колебания

Качели и маятниковые часы: что такое период, частота и амплитуда, как работает формула маятника и почему масса груза ни при чём. С интерактивом и бесплатным тренажёром.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

На детской площадке качели с цепями длиной около 2 м. Ты засёк: за 30 секунд качели сделали 12 полных размахов. Соседние, с цепями в полметра, успели качнуться 24 раза. Почему период зависит от длины подвеса и не зависит от седока? Механические колебания — движения, повторяющиеся через равные промежутки времени: маятник часов, ветка без птицы, струна гитары.

Период, частота и амплитуда

Одно полное колебание — путь от края до края и обратно. Три величины его описывают. Амплитуда — наибольшее отклонение от равновесия, в метрах: у струны доли миллиметра, у качелей метры. Период $T$ — время одного колебания: $T = \frac{t}{N}$ , где $N$ — число колебаний за время $t$ . Для качелей $T = 30 : 12 = 2, 5$ с, для коротких — $30 : 24 = 1, 25$ с. Частота $ν$ — число колебаний за секунду, $ν = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$ . Единица — герц: 1 Гц — одно колебание в секунду. Частота качелей 12 : 30 = 0,4 Гц.

Величина	Обозначение	Единица	Как найти
Амплитуда	$A$	м	наибольшее отклонение от равновесия
Период	$T$	с	$T = \frac{t}{N}$
Частота	$ν$	Гц	$ν = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$

T = \frac{t}{N}, ν = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}

Период и частота: t — время наблюдения, N — число колебаний

Свободные и вынужденные колебания

Отпусти качели — они качаются сами, и каждый размах чуть меньше предыдущего: трение в подвесе и сопротивление воздуха медленно съедают энергию. Это свободные колебания: система движется под действием внутренних сил, и без подпитки энергией они всегда затухают. У швейной машины иначе: игла ходит вверх-вниз ровно столько, сколько крутится вал, и остановится вместе с ним. Это вынужденные колебания — их поддерживает периодическая внешняя сила.

Качели после одного толчка — свободные: размах понемногу тает
Струна гитары после щипка — свободные: звучит сама и затухает
Игла швейной машины — вынужденные: её гонит вал с мотором
Поршень двигателя — вынужденные: шатун толкает его каждую долю секунды
Ветка, с которой слетела птица, — свободные: несколько качаний и тишина

У каждой системы есть собственная частота — частота её свободных колебаний: у качелей с подвесом 2 м это 0,4 Гц, у струны сотни герц. Вынужденные колебания подстраиваются под частоту внешней силы, и тут прячется главный сюрприз. Толкай качели вразнобой — толчки гасят друг друга, размах не растёт. Попадай точно в такт — каждый толчок добавляет энергию вовремя, и за пару десятков толчков качели разгоняются до опасного размаха. Это резонанс: резкий рост амплитуды, когда частота силы совпала с собственной частотой системы.

С резонансом учились жить не сразу. В 1831 году висячий мост Бротон в Манчестере обрушился, когда рота солдат прошла по нему строевым шагом в ногу, — с тех пор по мостам воинским частям приказывают идти не в ногу. А полезную сторону резонанса ты знаешь сам: маленькая сила в такт раскачивает большие качели, чего не сделает никакая сила мимо такта.

Математический и пружинный маятник: сравнение

Две главные модели темы различаются тем, что «пружинит». У математического маятника груз качается на нити, и возвращающая сила — это слагающая силы тяжести, тянущая груз обратно к равновесию; период задаёт длина нити. У пружинного маятника груз ходит вдоль оси пружины, и возвращает его упругость самой пружины: период растёт с массой и падает с жёсткостью. Проверяй формулы вопросом «что увеличить, чтобы период вырос» — и на контрольной не перепутаешь.

Вопрос	Математический маятник	Пружинный маятник
Формула периода	$T = 2 π \frac{l}{g}$	$T = 2 π \frac{m}{k}$
Период растёт, если	нить длиннее	груз тяжелее или пружина мягче
От чего период не зависит	массы груза и размаха при малых амплитудах	размаха
Пример	грузик на нити, настенные часы	груз на пружине, безмен

Формула маятника: почему часы ходят точно

Математический маятник — грузик на длинной нерастяжимой нити. Период его колебаний считает формула Гюйгенса: $T = 2 π \frac{l}{g}$ , где $l$ — длина нити, $g \approx 9, 8$ м/с². Проверим: нить 1 м даёт под корнем ≈ 0,102, корень ≈ 0,32, умножаем на 2π ≈ 6,28 — период около 2 с, как у настенных часов. Укороти нить до 25 см — период упадёт до 1 с. Массы в формуле нет: шарик и гиря на одинаковой нити качаются синхронно. У пружинного маятника иначе — $T = 2 π \frac{m}{k}$ : период растёт с массой и падает с жёсткостью пружины.

Считаем период и частоту качелей

Секундомер показал 30 с, колебаний N = 12. Ищем период:
$T = \frac{30}{12} = 2, 5$
Частота — обратная величина к периоду:
$ν = \frac{1}{2 , 5} = 0, 4$
Ответ: период 2,5 с, частота 0,4 Гц.
$ν \cdot T = 0, 4 \cdot 2, 5 = 1$

Считаем длину нити: разбор задачи

Формула Гюйгенса работает в обе стороны: не только считает период по длине, но и подбирает длину под нужный период. Так проектировали маятники часов: чтобы ход тикал ровно, нить делали определённого метража. Разберём эту задачу по шагам.

Какой длины нужен маятник для периода 2 с

Записываем формулу периода математического маятника:
$T = 2 π \frac{l}{g}$
Избавляемся от корня — возводим обе части в квадрат:
$T^{2} = \frac{4 π ^{2} l}{g}$
Выражаем длину нити:
$l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$
Подставляем числа: g около 9,8 м/с², T = 2 с, π² около 9,87:
$l = \frac{9 , 8 \cdot 4}{4 \cdot 9 , 87} \approx 0, 99$
Ответ: нить длиной около 1 м. Такой маятник называют секундным: полное качание занимает 2 с, а полупериод — 1 с.
$l \approx 1$
Проверка обратным ходом: корень из 1/9,8 около 0,32, умножаем на 2π около 6,28 — выходит 2 с. Задача решена верно.
$2 π \frac{1}{9 , 8} \approx 2$

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 6

Термины

Определения

Характеристики колебаний

Соедини термин с определением.

Утверждение 1 из 5

Период математического маятника зависит от массы груза

Верно или нет?

Пять утверждений про маятники и резонанс — реши, правда это или нет.

Маятник в технике и в жизни

Маятник — не школьная абстракция, а сердце самых точных приборов своей эпохи. В 1656 году Христиан Гюйгенс собрал первые маятниковые часы: до них башенные часы ошибались на четверть часа в сутки, после — на считаные секунды. Секрет в изохронности: при небольшом размахе период почти не зависит от амплитуды, поэтому часы идут ровно, даже если маятник качнётся чуть сильнее обычного. В 1815 году запатентован метроном Мельцеля — маятник с передвигающимся грузиком: сдвинул груз вверх — темп быстрее, вниз — медленнее. Музыканты пользуются им до сих пор.

Сейсмограф тоже устроен как маятник: тяжёлый груз на подвесе из-за инерции почти не двигается, когда корпус вместе с землёй дрожит, и перо записывает колебания грунта. Амортизаторы автомобиля решают обратную задачу — гасят колебания кузова на пружинах, чтобы дорога не превратилась в резонансную качку. Даже гамак во дворе и дверной доводчик живут по той же физике возвращающей силы и затухания.

Словарь урока

Колебательная система#: Тело или группа тел, повторяющих движение около положения равновесия
Свободные колебания#: Колебания под действием внутренних сил; без подпитки энергией затухают
Вынужденные колебания#: Колебания, которые поддерживает периодическая внешняя сила
Собственная частота#: Частота свободных колебаний системы; задаётся её устройством
Затухающие колебания#: Колебания с убывающей амплитудой из-за трения
Резонанс#: Резкий рост амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частот

Как это спрашивают на контрольной

Тема приходит в трёх видах. Первый — прямое деление: даны время и число колебаний, найти период и частоту. Второй — обратный: дана частота, спросить, сколько колебаний выйдет за данное время или за какое время наберётся нужное число. Третий — качественный: что станет с периодом, если удлинить нить или попасть толчками в такт. Фраза «во сколько раз» подсказывает про корень: длина стоит в формуле маятника под радикалом.

По времени и числу колебаний найти период и частоту — и проверить себя: их произведение равно 1
Обратная задача: по частоте найти время, за которое тело совершит нужное число колебаний
Сравнить периоды двух маятников по длинам нитей — через корень из отношения длин
Разобрать свои примеры колебаний на свободные и вынужденные
Объяснить резонанс и привести по одному примеру его пользы и вреда

Ты качаешься на качелях: полный размах туда и обратно занимает около 3 с — это период, а за минуту выходит 20 колебаний. Маятник в часах живёт по тому же правилу: чем длиннее нить, тем медленнее качание, и от массы груза период почти не зависит.

Выучено: 0 из 6 · В колоде: 6

Карточки: формулы и словечки урока

Кликни карточку, чтобы перевернуть.

Попыток: 0

Маятник делает 30 колебаний за минуту. Выстави период

Твоя оценка5.1 с

Прикинь период

60 с раздели на 30 колебаний.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Маятник за 12 с совершил 6 полных колебаний. Чему равен период?

Частота колебаний 5 Гц. Чему равен период в секундах?

Чем длиннее нить математического маятника, тем больше период его колебаний.

Расставь маятники по возрастанию периода колебаний.

Соедини величину с её смыслом.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

За 30 с на качелях сделали 12 полных колебаний. Найди частоту в герцах.

Какие это колебания?

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни про период и частоту.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Период — время колебания, а частота измеряется в .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему маятниковые часы делают с длинным маятником?

Длиннее нить — больше период: маятник длиной около метра делает колебание за две секунды, и ход часов удобно отбивать такими «тиками». Укоротишь маятник — часы начнут спешить.

Зависит ли период качелей от того, кто на них сидит?

Практически нет: массы в формуле маятника нет. Период задаёт длина подвеса, поэтому взрослый и ребёнок на одних качелях качаются в одном ритме.

Что происходит при резонансе и чем он опасен?

Когда частота толчков совпадает с собственной частотой системы, энергия добавляется в такт и амплитуда растёт. Для качелей это удобно, а для моста или крыла самолёта — разрушительно, поэтому резонансные частоты рассчитывают заранее.

Почему на качелях можно раскачаться, а на стене нет?

Качели — колебательная система со своей собственной частотой, и толчки в такт складываются: это резонанс. Стена качаться не станет — твоей энергии некуда накапливаться, поэтому как ни упирайся, размаха не выйдет.