Закон всемирного тяготения и космические скорости
Все тела во Вселенной притягиваются: F = G·m₁·m₂/r². Расстояние в квадрате решает всё — и объясняет, почему спутник «падает мимо» Земли уже миллиарды лет.
Яблоко падает вниз, Луна — не падает. Или падает? Ньютон понял: это одно и то же движение. Луна непрерывно «падает» на Землю, но из-за боковой скорости всё время промахивается — и вечно остаётся на орбите. Один закон управляет и яблоком, и Луной, и приливами, и движением галактик. Это закон всемирного тяготения.
Формула Ньютона
В 1687 году Ньютон сформулировал: любые два тела притягиваются силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Гравитационная постоянная G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг² — очень маленькое число, поэтому обычные предметы не притягиваются заметно, а вот планеты с огромными массами удерживают всё вокруг себя.
| Во сколько раз изменили | Во сколько раз изменилась сила | Пример |
|---|---|---|
| массу одного ×2 | ×2 | удвоили массу шара — притяжение удвоилось |
| оба массы ×2 | ×4 | произведение m₁m₂ выросло вчетверо |
| расстояние ×2 | ×1/4 (ослабла) | отошли вдаль — сила упала вчетверо |
| расстояние ×3 | ×1/9 (ослабла) | квадрат расстояния в знаменателе |
Почему гравитация слабая, но всесильная
Гравитационная постоянная G = 6,67·10⁻¹¹ — самое маленькое «рабочее» число в школьной физике. Два приятеля массой по 60 кг, стоящие вплотную, притягиваются с силой около 2,4·10⁻⁷ ньютона — вес муравья больше в двести раз. Поймать её руками невозможно, нужны сверхчувствительные приборы. Но у гравитации нет экрана: её нельзя погасить, отразить или изолировать, как магнитное поле. Она складывается от каждой песчинки, и огромные массы планет делают своё дело.
Из четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация — слабейшая: между двумя протонами электромагнитное отталкивание сильнее гравитационного притяжения примерно в 10³⁶ раз. Тем не менее во Вселенной правит именно она: электрические заряды соседних тел обычно компенсируют друг друга, а массы только складываются. Твои 50 кг давят на пол с силой около 500 Н, и Земля притягивается к тебе с той же силой — просто её ускорение от этого незаметно.
Кавендиш взвешивает Землю
Ньютон записал закон, но не знал числа G — без него нельзя посчитать силу для реальных тел. Генри Кавендиш в 1798 году проделал опыт, который позже назвали «взвешиванием Земли». На коромысле, подвешенном на тонкой нити, он закрепил два маленьких свинцовых шара, а рядом на поворотной раме подводил два больших шара массой по 158 кг. Притяжение больших шаров закручивало нить на ничтожный угол — по нему Кавендиш вычислил силу: около 0,0000002 ньютона.
Из опыта вышла плотность Земли — примерно 5,5 г/см³, почти вдвое плотнее горных пород коры. Значит, недра планеты тяжелее, чем камень: ядро из железа и никеля. Отсюда и масса Земли около 6·10²⁴ кг, и само число G. Сам Кавендиш был известным затворником: общался с домочадцами записками, а свои электрические исследования, опередившие время почти на сто лет, не опубликовал вовсе — их издали уже после находки в архиве.
Космические скорости
Первая космическая скорость — 7,9 км/с: горизонтальная скорость, при которой тело становится спутником Земли и «падает мимо» неё по круговой орбите. Вторая — 11,2 км/с: чтобы навсегда покинуть Землю (полёт к Луне и планетам). Третья — 16,7 км/с: улететь из Солнечной системы. Все три скорости растут из одного корня: v = √(GM/r), где M — масса планеты, r — расстояние от её центра.
- Дано: расстояние между шарами увеличили с r до 3r. Массы не менялись.
- Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: F₂ = Gm₁m₂/(3r)².
- Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Если бы увеличили в 2 раза — ослабла бы в 4.
Орбиты: круг, эллипс и невесомость
Первая космическая — только стартовая площадка. Дашь телу чуть больше 7,9 км/с — круг вытянется в эллипс, и чем больше скорость, тем дальше уйдёт апогей. На высоте геостационарной орбиты, около 36 000 км, спутнику хватает 3,1 км/с, зато период оборота равен суткам: телевизионные и метеорологические аппараты «висят» над одной точкой экватора. Красивое следствие одной формулы: чем дальше от планеты, тем медленнее полёт.
Ещё дальше вторая космическая: 11,2 км/с у Земли. Набрал её — и гравитация уже не вернёт назад, корабль уходит в межпланетное пространство. У Луны все скорости вчетверо-впятеро меньше: её масса в 81 раз меньше земной, поэтому даже маленькие двигатели «Аполлонов» поднимали корабль с её поверхности.
Невесомость на станции — не отсутствие притяжения. На высоте 400 км гравитация Земли слабее земной всего на 10%, но станция и всё внутри неё свободно падают с одинаковым ускорением, поэтому пол перестаёт давить на ноги. Точно такое же короткое ощущение даёт лифт, тронувшийся вниз, — только у орбиты это падение не заканчивается и продолжается по кругу.
Приливы: тяготение, которое видно с берега
У приливов свой закон: приливная сила — это разность притяжений ближнего и дальнего краёв планеты, и убывает она как куб расстояния. Солнце притягивает Землю в 180 раз сильнее Луны, но его «перепад» через поперечник планеты меньше — солнечные приливы получаются вдвое слабее лунных. Луна вытягивает океан в два горба, Земля проворачивается внутри них, и на большинстве берегов вода поднимается дважды в сутки: каждые 24 часа 50 минут, потому что Луна за это время успевает сдвинуться по орбите.
- В новолуние и полнолуние горбы Луны и Солнца складываются — приливы самые высокие; в первую и последнюю четверть — самые низкие.
- В открытом океане перепад воды — около метра, а в узких заливах доходит до 15-18 метров: рекорд держит залив Фанди у Канады.
- Перепад воды уже работает на людей: приливная станция на реке Ранс во Франции выдаёт 240 МВт с 1966 года.
- Приливы тормозят вращение Земли: сутки удлиняются примерно на 2 миллисекунды за столетие, а Луна отступает от нас на 3,8 см в год.
Отступление Луны измерено с точностью до миллиметров: лазеры по отражателям, оставленным на поверхности «Луноходами» и «Аполлонами», отбивают расстояние туда и обратно за 2,5 секунды. Приливы — тот случай, когда закон всемирного тяготения можно увидеть глазами, без приборов: пришёл на берег утром и вечером и сравнил уровни воды.
Считаем первую космическую скорость
- Дано: масса Земли M = 6·10²⁴ кг, орбита у самой поверхности, r = 6400 км = 6,4·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
- На круговой орбите гравитация работает как центростремительная сила: GMm/r² = mv²/r. Масса спутника m сокращается — скорость от неё не зависит.
- Выражаем скорость через массу планеты и радиус орбиты.
- Считаем GM: 6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ = 4·10¹⁴ м³/с².
- Делим на r и извлекаем корень: v² = 4·10¹⁴ / 6,4·10⁶ = 6,25·10⁷ м²/с², откуда v ≈ 7900 м/с.
- Ответ: 7,9 км/с. На высоте МКС (400 км, r = 6,8·10⁶ м) получается 7,7 км/с — чем выше орбита, тем медленнее полёт.
Словарь урока
- Гравитационная постоянная G#
- число 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², одинаковое для любых тел Вселенной
- Первая космическая скорость#
- 7,9 км/с у Земли — скорость кругового спутника у поверхности
- Вторая космическая скорость#
- 11,2 км/с — минимальная скорость ухода от Земли навсегда
- Геостационарная орбита#
- круговая орбита на высоте около 36 000 км, над одной точкой экватора
- Приливная сила#
- разность притяжений двух сторон тела; убывает как куб расстояния
- Крутильные весы#
- прибор Кавендиша: нить закручивается от крошечных сил, угол закручивания их измеряет
Как это спрашивают на контрольной
- Всегда подставляй r от центра до центра: высота над планетой — это r минус радиус планеты.
- Утроил расстояние — сила упала в 9 раз; перепутаешь квадрат с корнем — потеряешь балл.
- Массы — в килограммы, расстояния — в метры: постоянная G задана в системе СИ.
- На орбите притяжение никуда не делось: невесомость — это свободное падение вокруг планеты.
- Спросят, кто гонит приливы сильнее, — отвечай: Луна, примерно вдвое, несмотря на массу Солнца.
Расстояние между телами увеличили в 2 раза. Во сколько раз ослабла сила тяготения?
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Как изменится сила тяготения, если массу одного тела удвоить?
2 Расстояние между телами увеличили в 3 раза. Сила тяготения…
3 Первая космическая скорость Земли равна…
4 Гравитационная постоянная G — большая величина.
5 Какие утверждения верны?
6 Сопоставь скорость и её смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Вставь пропущенное.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Сила тяготения прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна расстояния.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чему равна гравитационная постоянная?
G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её впервые измерил Генри Кавендиш в 1798 году с помощью крутильных весов.
Почему Луна не падает на Землю?
Она непрерывно «падает» под действием тяготения, но её боковая скорость настолько велика, что она всё время промахивается мимо Земли — это и есть орбита. Притяжение никуда не девается: оно лишь непрерывно поворачивает вектор скорости, поэтому орбита и получается замкнутой.
Как изменится сила тяготения при увеличении расстояния?
Обратно пропорционально квадрату: расстояние ×2 — сила ×¼, расстояние ×3 — сила ×1/9. Верно и обратное: сблизишь тела втрое — сила вырастет в 9 раз, поэтому спутники на низких орбитах чувствуют притяжение почти как у поверхности.
Что такое первая и вторая космические скорости?
Первая — 7,9 км/с: стать спутником Земли. Вторая — 11,2 км/с: полностью покинуть Землю и улететь к другим планетам.