Как решать задачи на арифметическую прогрессию

В спортзале школы трибуна устроена просто: в первом ряду 10 скамеек, а каждый следующий ряд шире на 3. Ты готовишь выступление и хочешь заранее знать, сколько скамеек в двенадцатом ряду и сколько их на всей трибуне. Пересчитывать ряды подряд — верный способ сбиться на седьмом и начать заново. Арифметическая прогрессия закрывает оба вопроса двумя формулами: раз каждый шаг одинаковый, дальний член находится без перебора, а сумма — без сложения всех чисел по очереди. В этом гайде: откуда берутся формулы, как решать обратные задачи, где прячется главная ловушка с индексами и как проверять ответ за пару секунд. Считать член и сумму по своим числам удобно в калькуляторе арифметической прогрессии (/calc/arifmeticheskaya-progressiya/) — там три режима и подстановка по шагам.

Разность d: сначала найди шаг

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой к каждому члену прибавляют одно и то же число. Это число называют разностью и обозначают d. Находят его вычитанием: из любого члена отними предыдущий, и с какого места ни проверяй, результат один. На трибуне $d=3$: второй ряд 13, третий 16, четвёртый 19. Знак d несёт смысл: положительная разность — ряд растёт (скамейки, копилка, расстояние), отрицательная — убывает (уставший бегун нарезает 180, 170, 160 метров за минуту, каждый раз на 10 меньше), нулевая — стоит на месте: 7, 7, 7. И читай условие медленно на границе двух слов: «каждый следующий на 3 больше» — это арифметическая прогрессия, а «каждый следующий в 3 раза больше» — уже геометрическая, там умножают, и формулы другие.

Формула n-го члена: почему n − 1

Из правила «прибавляй d к предыдущему» явная формула добывается за минуту. Смотри: второй член — это первый плюс одна d, третий — первый плюс две d, четвёртый — плюс три d. Каждый шаг добавляет одну разность, и к члену с номером n этих шагов набирается ровно $n-1$, а не n: от первого ряда до двенадцатого одиннадцать прибавок, потому что первый ряд считать не нужно. Отсюда формула: $a_n=a_1+d(n-1)$. Для трибуны: $a_{12}=10+3\cdot 11=43$ скамейки. Единица в скобках — то место, где класс теряет баллы чаще всего, поэтому в первых задачах пересчитывай шаги руками: член пятый — шагов четыре, член десятый — шагов девять.

Формула работает в обе стороны, и обратные задачи встречаются не реже прямых. Если известны первый член и дальний, разность находится делением перепада на число шагов: $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$. Если известны разность и дальний член — первый: $a_1=a_n-d(n-1)$. А если даны два любых члена с их номерами, схема та же: разность членов делить на разность номеров. Например, третий член равен 14, а девятый — 32: перепад 18, шагов между третьим и девятым шесть, значит, $d=18:6=3$, и всё остальное восстанавливается по рельсам.

Сумма: пары с двух концов

Складывать двенадцать чисел подряд — потеря времени и почва для описок. Сложи крайние члены: 10 + 43 = 53. Второй с предпоследним: 13 + 40 = 53. Третий с третьим от конца: 16 + 37 = 53. Каждая пара даёт одно и то же, потому что один её край растёт на d, а другой на столько же убывает. Пар из двенадцати членов выходит шесть, поэтому вся сумма равна 53, умноженному на 6, — 318. Тот же приём, по легенде, придумал школьник Гаусс, посчитав числа от 1 до 10 парой крайних: 1 + 10, 2 + 9 — пять пар по 11, итого 55. Общая формула говорит то же самое: среднее первого и последнего, умноженное на число членов.

Если последнего члена не ищут, работает вторая форма — с первым членом и разностью: $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$. Она получается подстановкой $a_n$ в первую форму и выручает, когда вопрос только про сумму. Для трибуны обе формы дают одно: $S_{12}=\frac{2\cdot 10+3\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{53}{2}\cdot 12=318$. Проверка любого ответа занимает секунды: раздели сумму на число членов — должно выйти среднее первого и последнего. 318 : 12 = 26,5, и (10 + 43) : 2 = 26,5. Сошлось — можно идти дальше.

Характеристическое свойство: детектор прогрессии

У арифметической прогрессии есть свойство, работающее как проверочный прибор: каждый член, кроме крайних, равен среднему арифметическому своих соседей. В ряду 10, 13, 16 средний член — это (10 + 16) : 2 = 13, всё честно. Возьми 3, 7, 12: среднее крайних 7,5, а в ряду стоит 7 — перед тобой не прогрессия, и искать d бессмысленно. Свойство спасает, когда в условии пропущен средний член: выписано «…; 19; x; 11; …» — x равен (19 + 11) : 2 = 15. Именно так сформулирована классическая задача из банка заданий, и она решается одной строкой, без разности и без формулы n-го члена. А ещё свойство объясняет, почему сумма считается по крайним: члены, равноудалённые от концов, симметричны и в сумме дают одно и то же.

Ловушки индексов: чек-лист перед ответом

Что решать после гайда

Прогрессия — одна из самых «выигрышных» тем ОГЭ: в девятом классе это задание на формулы, и балл за него берётся аккуратностью, а не талантом. Возьми три задачи: одну про ряды и ярусы, одну обратную (даны два члена — восстанови всё остальное) и одну на сумму с проверкой делением. Дальше по программе — геометрическая прогрессия: там вместо разности d появится знаменатель q, вместо шагов — степени, а приём Гаусса превратится в формулу суммы со знаменателем. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия потом встретится в задачах про десятичные дроби и периодические дроби. А если по ходу решения сомневаешься в разности или номере — калькулятор прогрессии рядом: он примет твои числа и покажет каждый шаг подстановки.