Как решать задачи на импульс: закон сохранения
Алгоритм задач на импульс: ось, знаки, закон сохранения. Неупругий и упругий удар, реактивное движение, два разбора с числами и ловушки направлений.
Мяч влетает в штангу и отскакивает, вагоны сцепляются и едут дальше вместе, ракета летит вверх, выбрасывая газы вниз, — у всех этих историй один язык: язык импульса. Формула p = mv выглядит проще некуда, но задачи на неё считаются одними из самых обманчивых в школьной механике: баллы теряются не на вычислениях, а на знаках и направлениях скоростей. Дальше — алгоритм по шагам, два разбора с числами, разбор неупругого и упругого удара, реактивное движение и таблица формул. Свои числа можно сразу подставить в калькулятор импульса /calc/impuls/ — он считает импульс тела, среднюю силу удара и скорость после соударения.
Импульс: масса на скорость
Импульс тела — произведение массы на скорость: p = mv. Это вектор: направлен туда же, куда скорость, и измеряется в кг·м/с. У грузовика массой 3 т, едущего со скоростью 2 м/с, импульс 6000 кг·м/с; у мотоцикла массой 200 кг на скорости 20 м/с — 4000, и грузовик остановить труднее, хотя едет он вдесятеро медленнее. Старое название импульса — количество движения — точно передаёт смысл: это запас движения, который тело способно передать другому при ударе или толчке. Масса в формуле всегда в килограммах: 500 г — это 0,5 кг, и забытый перевод завышает ответ ровно в тысячу раз. Знаки работают так: выбираешь ось, движение по ней получает плюс, против — минус; скорость −6 м/с означает «шесть метров в секунду против оси».
Закон сохранения: когда он работает
В замкнутой системе — внешние силы отсутствуют или уравновешены — суммарный импульс не меняется: сколько движения было до взаимодействия, столько и после. Бильярдные шары, сцепляющиеся вагоны, отдача пушки — везде одна бухгалтерия: импульсы тел до удара складываются векторно, и столько же должно получиться после. Для одномерных задач запись короткая: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где v — скорости до, u — после. Знаки здесь жизненно необходимы: одно и то же уравнение без минуса у встречного тела даёт абсурд. Проверь границы применимости: если трение или внешняя тяга в задаче заметны, закон сохранения в чистом виде не работает — но в школьных задачах на удар и отдачу система всегда считается замкнутой на время взаимодействия.
Неупругий удар: тела слипаются
Если после удара тела едут вместе, удар называется неупругим, и задача резко упрощается: скорость после общая, обозначь её u. Тогда m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u — одно уравнение, одна неизвестная. Кинетическая энергия при этом уменьшается: часть уходит в деформацию, звук и тепло, и это не ошибка, а свойство неупругого удара — импульс сохраняется всегда, энергия нет. Поэтому в задачах после нахождения скорости часто спрашивают, сколько энергии перешло в тепло: считай ½mv² до и после и вычитай. Меньшая скорость после сцепки — тоже проверка: общая скорость обязана лежать между скоростями тел до удара, иначе где-то потерян знак.
- Вагон массой 30 т, катящийся со скоростью 2 м/с, догоняет и сцепляется с неподвижным вагоном 10 т. Переводим тонны: 30 000 кг и 10 000 кг.
- Ось — по движению первого вагона. Импульс до удара: 30 000 · 2 + 10 000 · 0 = 60 000 кг·м/с.
- После сцепки масса 40 000 кг, скорость общая и равна u: 40 000 · u = 60 000.
- Скорость после удара: u = 60 000 : 40 000 = 1,5 м/с, направление прежнее.
- Энергия: до удара 60 кДж, после 45 кДж — 15 кДж ушли в грохот и деформацию смятия сцепки. Импульс при этом сохранился точно.
- Проверка на смысл: лёгкий вагон разбавил скорость тяжёлого, 1,5 м/с лежит между 0 и 2 — правдоподобно.
Упругий удар, отскок и средняя сила
Упругий удар сохраняет и импульс, и кинетическую энергию: шары разлетаются, а не слипаются. Полная система уравнений громоздкая, но школьные случаи просты: у равных масс после лобового удара скорости обмениваются, а удар о массивную стену разворачивает мяч с примерно той же по модулю скоростью. Отскок — типичная задача на изменение импульса: вектор развернулся, значит изменение больше, чем при остановке. Связывает это импульсная форма второго закона Ньютона: F·Δt = Δp, где F — средняя сила за время контакта Δt. Отсюда главный практический вывод: чем дольше контакт, тем меньше сила при том же изменении импульса — вратарь гасит мяч отводом рук, а подушка безопасности растягивает остановку пассажира на десятки миллисекунд.
- Мяч массой 0,4 кг летит к стене со скоростью 8 м/с и отскакивает со скоростью 5 м/с. Ось — в сторону стены.
- Импульс до удара: p₀ = 0,4 · 8 = 3,2 кг·м/с.
- Скорость после направлена против оси, поэтому импульс стал отрицательным: p = 0,4 · (−5) = −2 кг·м/с.
- Изменение импульса: Δp = −2 − 3,2 = −5,2 кг·м/с. Минус означает, что сила действовала от стены.
- Средняя сила при контакте 0,02 с: F = 5,2 : 0,02 = 260 Н.
- Если бы мяч просто прилип и остановился, изменение было бы 3,2 кг·м/с и сила 160 Н: отскок бьёт сильнее, а не слабее.
Реактивное движение: закон сохранения на двигателе
Ракета — это закон сохранения импульса на двигателе: выбрасывая газы назад с огромной скоростью, она получает импульс вперёд, потому что суммарный импульс системы «ракета плюс газы» остаётся прежним. Внешней опоры не нужно — ракете не от чего отталкиваться, кроме собственных газов. Тот же механизм в бытовом варианте — отдача при прыжке с лодки: мальчик массой 40 кг прыгает с неподвижной лодки массой 80 кг со скоростью 3 м/с, и лодка уезжает в противоположную сторону со скоростью 40·3/80 = 1,5 м/с. Импульс прыжка уравновесился импульсом лодки, ничего никуда не исчезло. Идею межпланетных полётов на этом принципе довёл до формул Циолковский, и задачи про «из ракеты вылетели газы» решаются ровно как про мальчика и лодку: массы, скорости, знаки, одно уравнение сохранения.
Шпаргалка формул
| Ситуация | Формула | Комментарий |
|---|---|---|
| Импульс тела | p = mv | вектор вдоль скорости, кг·м/с |
| Изменение импульса | Δp = mv − mv₀ | при отскоке знаки переворачиваются |
| Средняя сила удара | FΔt = Δp | дольше контакт — меньше сила |
| Неупругий удар | m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)u | скорость после общая |
| Упругий удар | сохраняются импульс и энергия | равные массы обмениваются скоростями |
| Реактивное движение | сумма импульсов равна нулю | газы назад — ракета вперёд |
Мяч массой 0,5 кг летит со скоростью 10 м/с. Прикинь его импульс и проверь себя.
Мини-квиз на отдыхе
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какой режим подготовки эффективнее?
Частые вопросы
Почему изменение импульса при отскоке больше, чем при остановке?
При остановке скорость упала до нуля, и Δp равен начальному импульсу. При отскоке скорость сменила направление: из положительной она стала отрицательной, и разность равна сумме модулей — в примере с мячом 3,2 плюс 2. Большее Δp означает и большую среднюю силу удара.
Как выбрать ось в задачах на закон сохранения?
По направлению движения большинства тел или того, чья скорость известна: так меньше минусов. Движение по оси — плюс, против — минус, и менять ось до конца решения нельзя. Отрицательная скорость в ответе означает просто «едет в другую сторону».
Куда пропадает энергия при неупругом ударе?
В деформацию, звук и тепло: кинетическая энергия не сохраняется, хотя импульс сохраняется точно. Поэтому у сцепившихся вагонов энергия движения меньше, чем до сцепки. Если вопрос про энергию — считай её отдельно до и после и вычитай.
Почему ракета летит в космосе, если там не от чего отталкиваться?
Она отталкивается от собственных газов: выбрасывая их назад с большой скоростью, ракета получает импульс вперёд по закону сохранения. Внешняя опора не нужна — важен только импульс выброшенных газов. Это и есть реактивное движение.