Как решать задачи на объёмы: призма, цилиндр, шар
Пять формул объёма, которые покрывают всю школьную программу, переходы через подобие в кубе и перевод в литры. Два разбора с числами и ловушки на радиусе, высоте и апофеме.
Аквариум продаётся как «пятидесятилитровник», коробка для переезда обещает 80 литров, а в задаче из ЕГЭ конус вписан в цилиндр — вопросы разные, приём один: формула объёма плюс аккуратные единицы. Задачи на объёмы стоят и в пятом классе с параллелепипедом, и на экзамене с шарами и подобием, и пугаться замысловатых тел не стоит: формул всего пять, а ошибки всегда одни и те же — диаметр вместо радиуса, апофема вместо высоты, потерянная треть у пирамиды. Дальше — все пять формул, два разбора с числами, переход через подобие и таблица-шпаргалка. Свои размеры можно сразу подставить в калькулятор объёма /calc/obemy/ — он считает и в кубических единицах, и в литрах.
Пять формул, которые покрывают всё
Вся объёмная геометрия школы строится на одной идее: объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту, а остальные тела — её варианты. Цилиндр — призма с кругом в основании: V = πr²h. Пирамида и конус — ровно треть призмы и цилиндра с тем же основанием: множитель 1/3 появляется из-за сужения к вершине. Шар живёт по собственной формуле V = (4/3)πr³, где радиус стоит в кубе — по одному множителю на каждое из трёх измерений. Запомни пары «призма — пирамида» и «цилиндр — конус»: половина экзаменационных задач — сравнить их объёмы, и ответ всегда «пирамида втрое меньше». Куб — частный случай параллелепипеда со стороной a, и его объём a³: куб со стороной 10 см вмещает ровно литр.
Частый случай, на котором спотыкаются, — призма с треугольным основанием. Площадь основания считается по плоским формулам: у прямоугольного треугольника это половина произведения катетов, у произвольного — половина стороны на высоту к ней. Призма с прямоугольным треугольником в основании, катеты 3 см и 4 см, высота 10 см, имеет объём (3·4 : 2) · 10 = 60 см³. С параллелепипедом та же логика: если даны диагональ и две стороны, сначала найди недостающее измерение по теореме Пифагора и только потом перемножай три измерения. Наклонная призма тоже считается через S·h, но высота здесь — перпендикуляр между плоскостями оснований, а не боковое ребро: у наклонной призмы они не равны, и подставлять ребро вместо высоты — верная ошибка.
Единицы: литры, кубы и потерянные нули
Литр — это кубик со стороной 10 см: 1 л = 1 дм³ = 1000 см³. Кубометр же равен миллиону кубических сантиметров и тысяче литров — между соседними ступенями множитель на тысячу, и он легко теряется. Правило одно: считай целиком в одних единицах и переводи только готовый ответ. Аквариум 50 на 30 на 40 см — это 60 000 см³, то есть 60 литров, и продавать его как «пятидесятилитровник» честно лишь с поправкой на грунт и фильтр. Бытовая лестница для прикидки: стакан — четверть литра, ведро — 10 литров, ванна — 150–200, куб воды на счётчике — тысяча литров. И ещё одно правило из той же серии: в условии дают диаметр, а в формулах живёт радиус — первым шагом любого решения с окружностью будет деление на два.
Подобие: объёмы относятся как куб
Если все линейные размеры тела увеличить в k раз, объём вырастет в k³ раз: измерений три — длина, ширина, высота, и каждое вносит свой множитель. Отсюда быстрые ответы: шары радиусом 2 см и 6 см отличаются по объёму в 3³ = 27 раз, хотя по радиусу лишь втрое. Работает и обратное направление: объём разделили на 27 одинаковых частей — линейный размер каждой меньше исходного втрое. Площади при этом растут как k², и задачи любят спросить и то и другое подряд, чтобы поймать путаницу. Приём встречается не только с шарами: уменьшенная копия детали, модель здания в масштабе 1:50, отлитые из одного слитка гирьки — везде считай через куб коэффициента.
- Диаметр основания 1,2 м, высота 1,5 м. Первый шаг — радиус: 1,2 : 2 = 0,6 м.
- Площадь основания: S = π · 0,6² = 0,36π ≈ 1,13 м².
- Объём: V = 1,13 · 1,5 ≈ 1,7 м³.
- Переводим в литры: 1 м³ = 1000 л, значит бак вмещает около 1700 литров.
- Прикидка: бак шире метра и выше полутора — тысяча с лишним литров правдоподобно, а «17 литров» или «17 тысяч» — нет. Сошлось.
- Шар радиусом 6 см переплавили в 27 одинаковых маленьких шаров. Материал тот же, суммарный объём не изменился.
- Подобие: объёмы относятся как куб коэффициента, k³ = 27, значит k = 3.
- Радиус каждого шарика: 6 : 3 = 2 см.
- Проверка по формуле шара: большой 4/3 · π · 216 ≈ 905 см³, маленький 4/3 · π · 8 ≈ 33,5 см³, и 33,5 · 27 ≈ 905 — сошлось.
- Заметь: суммарная площадь поверхности выросла втрое — площади относятся как k², и у 27 маленьких шаров её ровно втрое больше, чем у одного большого.
Шпаргалка формул
| Тело | Формула | На что смотреть |
|---|---|---|
| Призма, параллелепипед | V = S·h (или a·b·c) | перемножать только в одних единицах |
| Куб | V = a³ | куб со стороной 10 см — ровно литр |
| Цилиндр | V = πr²h | радиус равен диаметру, делённому на 2 |
| Пирамида | V = S·h/3 | высота, а не апофема |
| Конус | V = πr²h/3 | образующая: l² = h² + r² |
| Шар | V = 4πr³/3 | радиус в кубе |
Комбинированные тела и вода
Задачи посложнее склеивают тела: конус на вершине цилиндра, шар вписан в куб, деталь — цилиндр с высверленным отверстием. Приём всегда один: объём целого минус объём вырезанного, либо сумма частей, и каждую часть считаешь по своей формуле. Для шара и куба есть две готовые картинки: вписанный шар касается всех граней, его радиус равен половине стороны, и занимает он примерно 52% объёма куба — отношение π/6. Описанный шар, наоборот, охватывает куб, и его радиус равен половине диагонали куба, которую сначала найди двумя применениями теоремы Пифагора. Отдельный пласт — задачи с жидкостью: вода принимает форму сосуда, поэтому вопрос «до какого уровня поднимется вода» — это объём погружённого тела, делённый на площадь основания сосуда. Опустил деталь — уровень вырос на высоту, которую занимает спрятанный под водой объём, делённый на площадь дна. Подобие работает и здесь: из конического стакана вылили половину воды — уровень упадёт не вдвое, а до корня кубического из одной второй, примерно до 0,79 исходной высоты.
Мини-квиз на отдыхе
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какой режим подготовки эффективнее?
Частые вопросы
Почему объём пирамиды втрое меньше объёма призмы?
Это доказывается разрезанием: из призмы складываются три равные пирамиды с тем же основанием и высотой. Отсюда множитель 1/3, и по той же причине он стоит у конуса. Забытая треть — самая частая ошибка всей темы.
Как перевести кубические сантиметры в литры?
Дели на тысячу: 1 л = 1000 см³. Кубометр в литрах, наоборот, умножается на тысячу: 1 м³ = 1000 л. Переводи готовый ответ, а не промежуточные числа, тогда нули не потеряются.
Что подставлять в формулу пирамиды: высоту или апофему?
Высоту — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Апофема — это высота боковой грани, она наклонена и всегда длиннее, поэтому с ней объём завышается. Найди высоту через теорему Пифагора из треугольника «высота, апофема, радиус вписанной окружности».
Как относятся объёмы подобных тел?
Как куб коэффициента подобия. Увеличил радиус шара вдвое — объём вырос в восемь раз, уменьшил куб втрое — объём упал в 27 раз. Площади при этом растут как квадрат коэффициента, не перепутай.