Системы счисления

Когда ты задаёшь цвет в CSS, то пишешь что-то вроде #FF6600 — и получаешь оранжевый. Это не шифровка: FF6600 — число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления. Мы привыкли к десятичной с её десятью цифрами, но компьютеру удобнее двоичная: каждая ячейка памяти либо включена (1), либо выключена (0). Систем счисления бесконечно много, и устроены они одинаково — меняется только количество цифр, то есть основание.

Программисты встречают разные системы каждый день: маска подсети 255.255.255.0 — четыре байта, права доступа — биты, собранные в байт, а мигающий светодиод на корпусе — буквально нули и единицы в действии. Свободно переводить числа туда и обратно нужно так же, как владеть таблицей умножения: без этого навыка не читается ни один низкоуровневый код и не решается половина задач ОГЭ.

Перевод из десятичной системы и обратно

Главный приём — деление с остатком. Чтобы перевести 43 в двоичную, делишь его на 2, выписываешь остатки и читаешь их снизу вверх: получится 101011. Проверка: 32 + 8 + 2 + 1 = 43 — каждый разряд стоит за своей степенью двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Обратный перевод ещё проще: двоичное 1011 — это 8 + 2 + 1 = 11. Восьмеричная и шестнадцатеричная устроены так же, только делишь на 8 и на 16. Обычных цифр в шестнадцатеричной не хватает, поэтому после 9 идут буквы: A — 10, B — 11, C — 12, D — 13, E — 14, F — 15. Например, 255 записывается как FF, ведь 15·16 + 15 = 255, а сотня — это 64, потому что 6·16 + 4 = 100.

Тот же алгоритм работает для любой системы — меняется только делитель. Переведём 156 в восьмеричную: 156 равно 8 · 19 плюс 4, потом 19 равно 8 · 2 плюс 3, и последнее частное 2. Читаем снизу вверх: 234. Проверка разложением: 2 · 64 + 3 · 8 + 4 = 128 + 24 + 4 = 156. Сходится — значит, перевод верный.

Зачем нужны восемь и шестнадцать

Двоичная — язык процессора: каждая цифра — состояние ячейки памяти. Но человеку длинную цепочку нулей читать тяжело, поэтому программисты сжимают запись в шестнадцатеричную: одна шестнадцатеричная цифра заменяет ровно четыре двоичные, потому что 16 — это двойка в четвёртой степени. Цвет #FF6600 — на самом деле число в шестнадцатеричной системе. Перевод из двоичной в неё идёт группами: 1111101 разбивают справа на четвёрки — 0111 и 1101, — каждую группу переводят отдельно и получают 7D. Никакого деления с остатком, просто группировка.

Примеры вокруг нас: права доступа в Linux записывают тремя восьмеричными цифрами, например 755. Каждая цифра — три двоичные: 7 — это 111, владелец может всё; 5 — это 101, группа может читать и запускать, но не изменять. Цвет в графическом редакторе — три байта, по одному на красную, зелёную и синюю составляющие; запись FF6600 читается так: FF (255 — красный), 66 (102 — зелёный), 00 (0 — синий). Одна короткая строка заменяет длинную цепочку из двадцати четырёх нулей и единиц.

• Одна восьмеричная цифра заменяет три двоичные: восемь — двойка в третьей степени
• Одна шестнадцатеричная — четыре двоичные: шестнадцать — двойка в четвёртой
• Поэтому перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную — просто разбиение на группы цифр

Степени двойки, которые стоит помнить

Все переводы держатся на степенях двойки, поэтому их полезно видеть перед глазами. Разряды растут справа налево: единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки, шестнадцатеричные... Десятый разряд — 1024, и эта граница объясняет и килобайт, и адресное пространство старых процессоров.

Обрати внимание, как быстро растёт длина записи: каждая следующая степень вдвое больше предыдущей, поэтому даже число до тысячи занимает десять двоичных разрядов. Отсюда и байт: восемь бит дают 256 вариантов — как раз хватило на символы западных алфавитов, цифры и знаки препинания.

Кстати, десятичная система — не единственная, которой пользовались люди. Вавилоняне считали шестидесятками — оттуда 60 минут в часе и 360 градусов в круге. Двенадцатеричный счёт оставил в языке слова «дюжина» и «гросс» — 144 штуки. Десять цифр в нашей системе — просто память о десяти пальцах, а компьютеру удобнее всего двоичная: два надёжных состояния ячейки вместо десяти капризных.

Двоичная арифметика: сложение столбиком

В двоичной системе можно считать прямо столбиком, только правила другие: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, а 1 + 1 = 10 — единица уходит в перенос, как при переходе через десяток в обычном счёте. Сложим 1011 (это 11) и 110 (это 6): получится 10001, а это 16 + 1 = 17. Проверка на десятичных числах сходится: 11 + 6 = 17. Вычитание и умножение тоже существуют, но на контрольных чаще спрашивают сложение и переводы, поэтому одного примера достаточно. Надёжный способ самопроверки: переведи оба слагаемых в десятичную систему, сложи там и переведи результат обратно — ответы обязаны совпасть.

Как это выглядит на контрольной

Типовые задания: перевести число в другую систему, сравнить два числа в разных системах, найти сумму двоичных чисел. Для сравнения приводи всё к десятичной: 110 в двоичной — это 6, а 10 в восьмеричной — всего 8, поэтому 8 больше 6, хотя на глаз выглядит меньше. Второй класс заданий — про количество цифр: в системе с основанием 5 есть цифры от 0 до 4, всего пять, а число 5 в ней записывается как 10. Третье — задачи на обратный перевод: по записи и основанию восстановить исходное число. Везде работает один и тот же приём с разрядами и степенями.

Обратный перевод: от записи к числу

Разбери задачу на обратный перевод: дано восьмеричное 127 — найди десятичную запись. Раскладываем по разрядам: 1 умножить на 64, 2 на 8 и 7 на единицу — в сумме 64 + 16 + 7 = 87. Обратный путь короче деления, поэтому на проверке быстрее идти от записи к числу. Ещё пример: шестнадцатеричное 2E — это 2 · 16 + 14 = 46, потому что E означает четырнадцать. Буквы в записи не пугают: они просто цифры, которым не хватило знаков. Потренируйся на датах: переведи свой год рождения в двоичную систему и проверь себя разложением — на живых числах приём запоминается быстрее всего.

Основание#

Количество цифр системы: у двоичной — 2, у восьмеричной — 8, у шестнадцатеричной — 16

Позиционная система#

Значение цифры зависит от позиции: 25 и 52 состоят из одних цифр, но равны разному

Разряд#

Одна позиция записи; вес разряда — степень основания

Триада#

Группа из трёх двоичных цифр, заменяющая одну восьмеричную

Тетрада#

Группа из четырёх двоичных цифр, заменяющая одну шестнадцатеричную

Остаток#

То, что не делится нацело; из остатков собирается новая запись числа

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема