Целое уравнение и биквадратное уравнение — тренажёр

Пример 1. Реши уравнение x³ − 5x² = 0 и запиши его наибольший корень.

Подсказка. Один множитель — x², второй — (x − 5).

Как решать. Выносим x²: x²(x − 5) = 0, корни 0 и 5; наибольший корень равен 5.

Ответ: 5

Пример 2. Замена t = x² привела биквадратное уравнение к квадратному с корнями t₁ = 1 и t₂ = 0. Сколько корней у исходного биквадратного уравнения?

Подсказка. Положительное t даёт два корня, ноль — один.

Как решать. t = 1 даёт два корня: √1 и −√1, а t = 0 даёт один корень x = 0. Итого 3.

Ответ: 3

Пример 3. Методом группировки реши уравнение x³ − 7x² − 4x + 4·7 = 0 и запиши сумму всех его корней.

Подсказка. Сгруппируй первые два слагаемых и последние два.

Как решать. Группировка: x²(x − 7) − 4(x − 7) = (x − 7)(x − 2)(x + 2) = 0, корни 7, 2 и −2, их сумма равна 7.

Ответ: 7

Пример 4. После замены t = x² уравнение свелось к виду (t − 7)(t + 3) = 0. Какие корни имеет это квадратное уравнение?

Подсказка. Каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Как решать. Произведение равно нулю, когда t − 7 = 0 или t + 3 = 0, то есть t = 7 и t = −3.

Ответ: t = 7 и t = −3

Пример 5. Уравнение (x² − 5)(x² + 1) = 0 имеет ровно два действительных корня.

Подсказка. Сравни знак правых частей двух условий.

Как решать. x² = 5 даёт два корня, а из x² = −1 действительных корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: Верно

Пример 6. Реши уравнение x³ − 2x² = 0 и запиши его наибольший корень.

Подсказка. Один множитель — x², второй — (x − 2).

Как решать. Выносим x²: x²(x − 2) = 0, корни 0 и 2; наибольший корень равен 2.

Ответ: 2

Пример 7. Замена t = x² привела биквадратное уравнение к квадратному с корнями t₁ = 7 и t₂ = 0. Сколько корней у исходного биквадратного уравнения?

Подсказка. Положительное t даёт два корня, ноль — один.

Как решать. t = 7 даёт два корня: √7 и −√7, а t = 0 даёт один корень x = 0. Итого 3.

Ответ: 3

Пример 8. Методом группировки реши уравнение x³ − 4x² − 4x + 4·4 = 0 и запиши сумму всех его корней.

Подсказка. Сгруппируй первые два слагаемых и последние два.

Как решать. Группировка: x²(x − 4) − 4(x − 4) = (x − 4)(x − 2)(x + 2) = 0, корни 4, 2 и −2, их сумма равна 4.

Ответ: 4

Пример 9. После замены t = x² уравнение свелось к виду (t − 5)(t + 1) = 0. Какие корни имеет это квадратное уравнение?

Подсказка. Каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Как решать. Произведение равно нулю, когда t − 5 = 0 или t + 1 = 0, то есть t = 5 и t = −1.

Ответ: t = 5 и t = −1

Пример 10. Уравнение (x² − 2)(x² + 5) = 0 имеет ровно два действительных корня.

Подсказка. Сравни знак правых частей двух условий.

Как решать. x² = 2 даёт два корня, а из x² = −5 действительных корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: Верно

Пример 11. Реши уравнение x³ − 4x² = 0 и запиши его наибольший корень.

Подсказка. Один множитель — x², второй — (x − 4).

Как решать. Выносим x²: x²(x − 4) = 0, корни 0 и 4; наибольший корень равен 4.

Ответ: 4

Пример 12. Замена t = x² привела биквадратное уравнение к квадратному с корнями t₁ = 5 и t₂ = 0. Сколько корней у исходного биквадратного уравнения?

Подсказка. Положительное t даёт два корня, ноль — один.

Как решать. t = 5 даёт два корня: √5 и −√5, а t = 0 даёт один корень x = 0. Итого 3.

Ответ: 3

Пример 13. После замены t = x² уравнение свелось к виду (t − 4)(t + 9) = 0. Какие корни имеет это квадратное уравнение?

Подсказка. Каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Как решать. Произведение равно нулю, когда t − 4 = 0 или t + 9 = 0, то есть t = 4 и t = −9.

Ответ: t = 4 и t = −9

Пример 14. Уравнение (x² − 1)(x² + 6) = 0 имеет ровно два действительных корня.

Подсказка. Сравни знак правых частей двух условий.

Как решать. x² = 1 даёт два корня, а из x² = −6 действительных корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: Верно

Пример 15. Реши уравнение x³ − 6x² = 0 и запиши его наибольший корень.

Подсказка. Один множитель — x², второй — (x − 6).

Как решать. Выносим x²: x²(x − 6) = 0, корни 0 и 6; наибольший корень равен 6.

Ответ: 6

Пример 16. Замена t = x² привела биквадратное уравнение к квадратному с корнями t₁ = 8 и t₂ = 0. Сколько корней у исходного биквадратного уравнения?

Подсказка. Положительное t даёт два корня, ноль — один.

Как решать. t = 8 даёт два корня: √8 и −√8, а t = 0 даёт один корень x = 0. Итого 3.

Ответ: 3

Пример 17. Методом группировки реши уравнение x³ − 8x² − 4x + 4·8 = 0 и запиши сумму всех его корней.

Подсказка. Сгруппируй первые два слагаемых и последние два.

Как решать. Группировка: x²(x − 8) − 4(x − 8) = (x − 8)(x − 2)(x + 2) = 0, корни 8, 2 и −2, их сумма равна 8.

Ответ: 8

Пример 18. После замены t = x² уравнение свелось к виду (t − 1)(t + 9) = 0. Какие корни имеет это квадратное уравнение?

Подсказка. Каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Как решать. Произведение равно нулю, когда t − 1 = 0 или t + 9 = 0, то есть t = 1 и t = −9.

Ответ: t = 1 и t = −9

Пример 19. Уравнение (x² − 6)(x² + 4) = 0 имеет ровно два действительных корня.

Подсказка. Сравни знак правых частей двух условий.

Как решать. x² = 6 даёт два корня, а из x² = −4 действительных корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: Верно

Пример 20. Замена t = x² привела биквадратное уравнение к квадратному с корнями t₁ = 9 и t₂ = 0. Сколько корней у исходного биквадратного уравнения?

Подсказка. Положительное t даёт два корня, ноль — один.

Как решать. t = 9 даёт два корня: √9 и −√9, а t = 0 даёт один корень x = 0. Итого 3.

Ответ: 3

Пример 21. Методом группировки реши уравнение x³ − 3x² − 4x + 4·3 = 0 и запиши сумму всех его корней.

Подсказка. Сгруппируй первые два слагаемых и последние два.

Как решать. Группировка: x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0, корни 3, 2 и −2, их сумма равна 3.

Ответ: 3

Пример 22. После замены t = x² уравнение свелось к виду (t − 5)(t + 8) = 0. Какие корни имеет это квадратное уравнение?

Подсказка. Каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Как решать. Произведение равно нулю, когда t − 5 = 0 или t + 8 = 0, то есть t = 5 и t = −8.

Ответ: t = 5 и t = −8

Пример 23. Уравнение (x² − 4)(x² + 6) = 0 имеет ровно два действительных корня.

Подсказка. Сравни знак правых частей двух условий.

Как решать. x² = 4 даёт два корня, а из x² = −6 действительных корней нет, потому что квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: Верно

Вопрос 1. Сколько корней имеет уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0?

Ответ: 4

Пояснение. Замена t = x² даёт квадратное уравнение с корнями 4 и 9; каждое положительное t даёт два корня x, итого 4.

Вопрос 2. Какое из уравнений биквадратное?

Ответ: x⁴ − 5x² + 4 = 0

Пояснение. Биквадратное уравнение содержит x⁴ и x², но не содержит нечётных степеней. В четвёртом варианте есть x³, в остальных — не четвёртая степень.

Вопрос 3. Реши уравнение x³ − 16x = 0 и запиши его наибольший корень.

Ответ: 4

Пояснение. Выносим x: x(x − 4)(x + 4) = 0, корни −4, 0 и 4; наибольший равен 4.

Вопрос 4. Уравнение (x − 2)²(x + 5) = 0 имеет три корня.

Ответ: Неверно

Пояснение. Корней два различных: x = 2 (двойной) и x = −5. Степень уравнения три, но она обещает не больше трёх корней, а не ровно три.

Вопрос 5. Биквадратное уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0. Запиши его наибольший корень.

Ответ: 2

Пояснение. t² − 5t + 4 = 0 даёт t = 1 и t = 4, отсюда x = ±1 и x = ±2; наибольший корень равен 2.

Вопрос 6. Сопоставь уравнение и число его корней.

Пояснение. Линейное уравнение имеет один корень, x² = 9 — два, а у биквадратного оба значения t отрицательны, поэтому действительных корней нет.

Вопрос 7. Целые корни уравнения x³ − 7x + 6 = 0 стоит искать среди делителей числа 6.

Ответ: Верно

Пояснение. При старшем коэффициенте 1 целый корень — делитель свободного члена: среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6 находятся все три корня: 1, 2 и −3.

Вопрос 8. Разложи уравнения по способу решения.

Пояснение. Если все слагаемые делятся на x — выносим. Если есть x⁴ и x² без нечётных степеней — замена t = x².