Квадратные неравенства — тренажёр

Пример 1. Реши неравенство x² − 5x > 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Разложи на множители и найди, где произведение положительно.

Как решать. x(x − 5) > 0, корни 0 и 5; парабола выше оси за корнями, наибольшее целое решение равно 5 − 1.

Ответ: 4

Пример 2. Сколько целых решений имеет неравенство x² + 2x < 0?

Подсказка. Корни здесь 0 и −2, парабола ниже оси между ними.

Как решать. x(x + 2) < 0, решение — промежуток от −2 до 0, в нём 2 − 1 целых чисел.

Ответ: 1

Пример 3. Реши неравенство (x − 3)(x − 8) < 0, где 3 < 8, и запиши его наименьшее целое решение.

Подсказка. Решение лежит между корнями, границы не включены.

Как решать. Произведение отрицательно между корнями: 3 < x < 8; наименьшее целое в этом промежутке — 3 + 1.

Ответ: 4

Пример 4. Какое множество является решением неравенства (x − 4)(x − 7) > 0, если 4 < 7?

Подсказка. Проверь знак произведения на числе между корнями.

Как решать. Произведение положительно, когда обе скобки одного знака: меньше нуля — обе, или больше нуля — обе. Это промежутки за корнями.

Ответ: x < 4 или x > 7

Пример 5. Неравенство x² + 5 > 0 верно при любом x.

Подсказка. Какое наименьшее значение может принимать x²?

Как решать. Квадрат неотрицателен, а после прибавления 5 выражение не меньше 5, то есть строго положительно.

Ответ: Верно

Пример 6. Реши неравенство x² − 2x > 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Разложи на множители и найди, где произведение положительно.

Как решать. x(x − 2) > 0, корни 0 и 2; парабола выше оси за корнями, наибольшее целое решение равно 2 − 1.

Ответ: 1

Пример 7. Сколько целых решений имеет неравенство x² + 7x < 0?

Подсказка. Корни здесь 0 и −7, парабола ниже оси между ними.

Как решать. x(x + 7) < 0, решение — промежуток от −7 до 0, в нём 7 − 1 целых чисел.

Ответ: 6

Пример 8. Реши неравенство (x − 2)(x − 6) < 0, где 2 < 6, и запиши его наименьшее целое решение.

Подсказка. Решение лежит между корнями, границы не включены.

Как решать. Произведение отрицательно между корнями: 2 < x < 6; наименьшее целое в этом промежутке — 2 + 1.

Ответ: 3

Пример 9. Какое множество является решением неравенства (x − 3)(x − 6) > 0, если 3 < 6?

Подсказка. Проверь знак произведения на числе между корнями.

Как решать. Произведение положительно, когда обе скобки одного знака: меньше нуля — обе, или больше нуля — обе. Это промежутки за корнями.

Ответ: x < 3 или x > 6

Пример 10. Неравенство x² + 2 > 0 верно при любом x.

Подсказка. Какое наименьшее значение может принимать x²?

Как решать. Квадрат неотрицателен, а после прибавления 2 выражение не меньше 2, то есть строго положительно.

Ответ: Верно

Пример 11. Реши неравенство x² − 4x > 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Разложи на множители и найди, где произведение положительно.

Как решать. x(x − 4) > 0, корни 0 и 4; парабола выше оси за корнями, наибольшее целое решение равно 4 − 1.

Ответ: 3

Пример 12. Сколько целых решений имеет неравенство x² + 5x < 0?

Подсказка. Корни здесь 0 и −5, парабола ниже оси между ними.

Как решать. x(x + 5) < 0, решение — промежуток от −5 до 0, в нём 5 − 1 целых чисел.

Ответ: 4

Пример 13. Какое множество является решением неравенства (x − 2)(x − 10) > 0, если 2 < 10?

Подсказка. Проверь знак произведения на числе между корнями.

Как решать. Произведение положительно, когда обе скобки одного знака: меньше нуля — обе, или больше нуля — обе. Это промежутки за корнями.

Ответ: x < 2 или x > 10

Пример 14. Неравенство x² + 1 > 0 верно при любом x.

Подсказка. Какое наименьшее значение может принимать x²?

Как решать. Квадрат неотрицателен, а после прибавления 1 выражение не меньше 1, то есть строго положительно.

Ответ: Верно

Пример 15. Реши неравенство x² − 6x > 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Разложи на множители и найди, где произведение положительно.

Как решать. x(x − 6) > 0, корни 0 и 6; парабола выше оси за корнями, наибольшее целое решение равно 6 − 1.

Ответ: 5

Пример 16. Реши неравенство (x − 4)(x − 10) < 0, где 4 < 10, и запиши его наименьшее целое решение.

Подсказка. Решение лежит между корнями, границы не включены.

Как решать. Произведение отрицательно между корнями: 4 < x < 10; наименьшее целое в этом промежутке — 4 + 1.

Ответ: 5

Пример 17. Какое множество является решением неравенства (x − 1)(x − 10) > 0, если 1 < 10?

Подсказка. Проверь знак произведения на числе между корнями.

Как решать. Произведение положительно, когда обе скобки одного знака: меньше нуля — обе, или больше нуля — обе. Это промежутки за корнями.

Ответ: x < 1 или x > 10

Пример 18. Неравенство x² + 6 > 0 верно при любом x.

Подсказка. Какое наименьшее значение может принимать x²?

Как решать. Квадрат неотрицателен, а после прибавления 6 выражение не меньше 6, то есть строго положительно.

Ответ: Верно

Пример 19. Сколько целых решений имеет неравенство x² + 8x < 0?

Подсказка. Корни здесь 0 и −8, парабола ниже оси между ними.

Как решать. x(x + 8) < 0, решение — промежуток от −8 до 0, в нём 8 − 1 целых чисел.

Ответ: 7

Пример 20. Реши неравенство (x − 1)(x − 10) < 0, где 1 < 10, и запиши его наименьшее целое решение.

Подсказка. Решение лежит между корнями, границы не включены.

Как решать. Произведение отрицательно между корнями: 1 < x < 10; наименьшее целое в этом промежутке — 1 + 1.

Ответ: 2

Пример 21. Какое множество является решением неравенства (x − 3)(x − 9) > 0, если 3 < 9?

Подсказка. Проверь знак произведения на числе между корнями.

Как решать. Произведение положительно, когда обе скобки одного знака: меньше нуля — обе, или больше нуля — обе. Это промежутки за корнями.

Ответ: x < 3 или x > 9

Пример 22. Неравенство x² + 4 > 0 верно при любом x.

Подсказка. Какое наименьшее значение может принимать x²?

Как решать. Квадрат неотрицателен, а после прибавления 4 выражение не меньше 4, то есть строго положительно.

Ответ: Верно

Вопрос 1. Какое множество является решением неравенства x² − 4x + 3 < 0?

Ответ: 1 < x < 3

Пояснение. Корни трёхчлена 1 и 3, ветви вверх; меньше нуля парабола именно между корнями.

Вопрос 2. Запиши наибольшее целое решение неравенства x² ≤ 16.

Ответ: 4

Пояснение. Решение — отрезок от −4 до 4 с включёнными границами, наибольшее целое здесь 4.

Вопрос 3. Если дискриминант меньше нуля и a > 0, то неравенство ax² + bx + c > 0 верно при любом x.

Ответ: Верно

Пояснение. Парабола не пересекает ось x и ветвями вверх лежит выше оси целиком, поэтому трёхчлен положителен всегда.

Вопрос 4. Запиши наименьшее целое решение неравенства −x² + 2x + 8 ≥ 0.

Ответ: -2

Пояснение. После умножения на −1: x² − 2x − 8 ≤ 0, решение −2 ≤ x ≤ 4; наименьшее целое −2.

Вопрос 5. При каком условии парабола y = ax² + bx + c целиком выше оси x?

Ответ: D < 0 и a > 0

Пояснение. Без пересечения с осью (D < 0) и с ветвями вверх (a > 0) график лежит над осью целиком.

Вопрос 6. Сопоставь неравенство и его решение.

Пояснение. Первое — за корнями, второе — между корнями, а сумма x² + 9 всегда не меньше девяти и никогда не отрицательна.

Вопрос 7. При умножении обеих частей неравенства на −1 знак неравенства сохраняется.

Ответ: Неверно

Пояснение. Знак переворачивается: «меньше» становится «больше». Это правило ты знаешь ещё с темы про линейные неравенства.

Вопрос 8. Разложи ответы по виду множества.

Пояснение. При ветвях вверх «< 0» верно между корнями, а «> 0» — слева от меньшего и справа от большего. Корни: 1 и 3, ±3, ±5.