Калькулятор вероятности

Монета упала орлом три раза подряд, и за столом уже слышно: «сейчас точно будет решка». Не будет — по крайней мере не потому, что «так положено». У монеты нет памяти: каждый бросок — новый случайный опыт, и перед ним у орла с решкой снова равные шансы. Ожидание «решка обязана выпасть» — самая частая бытовая ошибка про случайность. Вероятность устроена иначе: она не предсказывает один бросок, а измеряет долю исходов в большой серии. Калькулятор выше считает вероятность по классической формуле, складывает несовместные события и находит шанс противоположного. Ниже разберём, откуда берётся формула, где она работает и где ломается.

Формула вероятности: благоприятные исходы из всех возможных

Случайный опыт — любое действие с непредсказуемым заранее результатом: бросок монеты или кубика, вытягивание карты, лотерея. Каждый отдельный результат называется исходом. Если все исходы равновозможны — монета честная, кубик не утяжелён, колода перемешана, — вероятность события считается одной формулой: число благоприятных исходов делим на число всех исходов. Слово «благоприятный» звучит странно, но означает простое: те исходы, при которых интересующее нас событие случается. Событию дают имя латинской буквой, а вероятность записывают $P(A)$ — от слова probability.

Здесь $m$ — сколько исходов благоприятные, $n$ — сколько всего. Оба числа целые и положительные, а событие состоит из целых исходов: «кубик упал четвёркой» — исход, «выпало больше четырёх» — событие из двух исходов. Знаменатель — это все равновозможные исходы опыта, и именно равновозможные: если шансы исходов разные, простое деление не годится. Вероятность достоверного события равна единице — так бывает всегда, вероятность невозможного — нулю. Между ними — доля, которую событие занимает среди всех возможностей.

Полезная проверка: сумма вероятностей всех возможных исходов опыта всегда равна единице. У кубика шесть граней по $\frac{1}{6}$ — в сумме ровно 1. Если в решении набралась сумма больше единицы, где-то посчитано лишнее; меньше — что-то потерялось. Эта проверка страхует и от главного соблазна — перепутать благоприятные исходы со всеми.

Противоположное событие: вычитаем из единицы

Событие «не A» называется противоположным: оно случается во всех исходах, где не случилось A. Вместе они покрывают весь опыт, поэтому их вероятности в сумме дают единицу. Отсюда рабочая формула: вероятность противоположного равна единица минус вероятность события. Она спасает там, где прямой перебор мучителен: собирать «хотя бы одну шестёрку» из раскладов долго, а посчитать «ни одной шестёрки» — одно действие.

Приём «хотя бы один» — главный потребитель этой формулы. Вопрос «какой шанс хотя бы раз увидеть шестёрку в двух бросках» прямым перебором уводит в перечисление одиннадцати раскладов, а через противоположное решается в две строки: сначала шанс «ни одной шестёрки», потом вычитание из единицы. Так же устроены задачи про попадания в цель, про «хотя бы одну пику» в двух картах и про то, что среди выбранных деталей найдётся бракованная.

Сумма несовместных событий

Несовместными называют события, которые не могут произойти в одном опыте: кубик не упадёт одновременно двойкой и пятёркой. Для них работает сложение: вероятность того, что случится хотя бы одно, равна сумме вероятностей. На кубике «выпадет 1 или 6» — это $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. Из колоды «достали пику или трефу» — $\frac{9}{36}+\frac{9}{36}=\frac{1}{2}$. Как только события могут случиться вместе, формула перестаёт работать: в примере «чётное или больше трёх» числа 4 и 6 попадают в оба списка, и сложение считает их дважды. Поэтому перед сложением проверь: события не пересекаются?

Произведение независимых событий

Независимые события не влияют друг на друга: результат первого броска ничего не меняет для второго. Для них работает умножение: вероятность, что случатся оба, равна произведению вероятностей. Две монеты: два орла подряд — $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Два кубика: две шестёрки — $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$, один шанс из тридцати шести. Цепочки считаются так же: три независимых выстрела с вероятностью промаха 0,4 дают $0,4^3=0,064$. Ключевой вопрос тут зеркальный к сложению: события действительно не влияют друг на друга? Вытягивая две карты подряд без возвращения, во второй раз мы работаем уже с уменьшенной колодой — независимости нет.

Как выбрать между сложением и умножением? По словам-подсказкам: «или» — складываем, «и», «оба», «хотя бы один из двух» — умножаем. «Первая карта пика или вторая трефа» — сумма; «первая пика и вторая трефа» — произведение. И всегда спрашивай себя: меняется ли условие опыта после первого результата? Если меняется — события зависимы, и простое умножение врёт: вынутая карта не вернулась, второй расчёт ведётся уже по колоде без неё. На ОГЭ и ЕГЭ чаще всего проверяют именно этот выбор правила — читай условие медленно.

Исход#

Один результат случайного опыта: орёл или решка, конкретная грань кубика, вынутая карта.

Событие#

Набор исходов, которые нас интересуют: «выпадет чётное число», «карта окажется пиковой масти».

Несовместные события#

События, которые не могут случиться вместе в одном опыте; их вероятности складываются.

Противоположное событие#

Событие «не A»: все исходы, где A не случилось; вероятность равна единица минус вероятность A.

Частота#

Доля, которую событие заняло в реальной серии: 12 орлов из 20 бросков — частота 0,6.

Частота и вероятность

Частота — это вероятность на практике. Бросили монету 20 раз и получили 12 орлов — частота орла 0,6, чуть выше «честных» 0,5. На малых сериях частота гуляет широко: в пяти бросках легко получить четыре орла. Но по мере роста серии частота прижимается к вероятности — это наблюдение называют законом больших чисел. На нём стоят казино и страховые компании: отдельный спин непредсказуем, а средний выигрыш на тысячах спинов почти гарантирован. По частоте судят о вероятности и там, где равновозможных исходов нет: шанс поломки детали или дождя 1 июня оценивают по частотам прошлых лет.

Вернёмся к монете из начала. Три орла подряд меняют не шансы, а наши ожидания: перед четвёртым броском у решки всё те же 50%, потому что броски независимы. Зато вероятность самой серии из четырёх орлов — ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$ — была такой ещё до первого броска, и на длинной серии такие полосы действительно случаются. В этом суть: отдельный бросок непредсказуем, доля в тысячах бросков — почти нет. На ОГЭ и ЕГЭ эти правила закрывают весь набор задач первого блока по вероятности: прямая формула, противоположное событие, сумма несовместных и произведение независимых.