Математика · 6 классурок · 2026-09-27~7 мин чтения

Диаграммы и первое знакомство с вероятностью

Читаем столбчатые и круговые диаграммы по опросу класса и впервые считаем вероятность: монета, кубик, шанс вытащить приз и главная ловушка про гарантию.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Монетка летит в воздух, и вы с другом решаете, кто пойдёт за хлебом: орёл — он, решка — ты. Шансы равные: один благоприятный исход из двух возможных, и математика записывает это как вероятность 1/2. Та же идея работает шире: на классном часе спросили про любимых питомцев и нарисовали диаграмму — и сразу видно, кого в классе любят больше. Разберём обе вещи: диаграммы и вероятность.

Вероятность события — доля благоприятных исходов среди всех возможных: одно делим на другое. У игрального кубика шесть равных граней, значит шанс любой конкретной — $\frac{1}{6}$ . Чётных граней три: 2, 4 и 6, поэтому вероятность выкинуть чётное число — $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Вероятность живёт в границах от 0 до 1: ноль у невозможного события (кубик никогда не покажет 7), единица — у достоверного (после четверга настанет пятница).

P (A) = \frac{m}{n}

Вероятность: m благоприятных исходов из n равновозможных

Читаем круговую диаграмму «Домашние питомцы»

В классе 24 ученика, и весь круг — это все 24 голоса.
Кошек выбрали 12 человек — ровно половина круга.
$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
Собак — 6 голосов, это четверть круга.
$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
Оставшиеся 6 голосов (рыбки и попугаи) — последняя четверть. Сумма долей всегда даёт целое.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Вид диаграммы	Когда использовать	Пример
столбчатая	сравнить величины между собой	кто как добирается до школы: пешком, автобус, велосипед
круговая	показать доли одного целого	опрос о питомцах: половина круга — кошки, четверть — собаки
график-линия	показать изменение со временем	температура за неделю по дням

\frac{12}{24} + \frac{6}{24} + \frac{6}{24} = 1

Все доли круга вместе дают целое

В киоске 10 лотерейных билетов, и 2 из них выигрышные. Ты тянешь один не глядя: шанс на приз 2/10, то есть 1/5. А если бы выигрышных было 9 из 10, вероятность 0,9 — почти наверняка, но всё равно не гарантия. Диаграммы работают зеркально: столбик в два раза выше соседнего — людей в нём в два раза больше.

Вероятность 0,9 — это не гарантия: девять выигрышных билетов из десяти всё равно оставляют шанс проиграть. И наоборот, маленькая вероятность не значит «никогда» — редкие события случаются, особенно когда попыток много. Проверяй ответ: вероятность обязана уместиться от 0 до 1.

0 \leq P \leq 1

Границы вероятности: от невозможного до достоверного

Диаграммы вокруг нас: сутки на круге

Разбей свои сутки на части и получишь круговую диаграмму. В сутках 24 часа: сон 9, школа 6, еда 2, дорога 1, остальное — игры и отдых 6. Проверка: 9 + 6 + 2 + 1 + 6 = 24 — круг собрался полностью. Круговая диаграмма разрезает окружность на доли, и каждой доле достаётся угол: весь круг 360°, четверть — 90°, восьмушка — 45°.

Занятие	Часов	Доля суток	Угол на диаграмме
сон	9	3/8	135°
школа	6	1/4	90°
еда	2	1/12	30°
дорога	1	1/24	15°
отдых	6	1/4	90°

Углы считаются умножением доли на 360: 360 · 3/8 = 135° для сна, 360 · 1/4 = 90° для школы. Сумма всех углов обязана дать 360° — это проверка построения: 135 + 90 + 30 + 15 + 90 = 360. Если не сходится — где-то ошиблась доля. Столбчатая диаграмма тут неудобна: сутки — одно целое, и их нельзя сложить из отдельных столбиков.

Столбчатая диаграмма нужна там, где части не складываются в целое: рост учеников, температура за неделю, книги, прочитанные за месяц. Круговая отвечает на вопрос «какая часть целого», столбчатая — на вопрос «кто больше». Выбор диаграммы — это выбор вопроса, на который ты хочешь ответить. Если сомневаешься — выпиши вопрос из задачи и проверь, отвечает ли готовая диаграмма на него.

Как диаграммы врут

Диаграмма честна ровно настолько, насколько честно её построили. Классический обман — обрезанная ось: у двух магазинов цены 900 и 1000 рублей, разница всего 11%, но если начать ось не с нуля, а с 800, второй столбик станет втрое выше первого. Глаз видит «в три раза дороже», кошелёк чувствует лишь 100 рублей разницы. Поэтому первое правило: смотри, откуда начинаются столбики. Вторая привычка — пересчитай разницу в процентах: 100 рублей от 900 — это примерно 11%, и никакая высота столбиков этого не изменит.

Ещё две уловки: разные масштабы на соседних графиках и объёмные круговые, где ближняя доля выглядит толще. Защита одна — читать подписи: оси, единицы, масштаб. Сколько градусов в клетке, сколько процентов в делении. Диаграмма — это рассказ с числами, и у рассказа всегда есть рассказчик со своими интересами.

Опрос класса: от столбиков к вероятности

В классе 28 человек спросили, как они добираются до школы: на автобусе 8, пешком 12, на велосипеде 8. Сумма 28 — диаграмма полная. Вероятность, что случайный ученик едет на автобусе: 8/28 = 2/7. Пешком: 12/28 = 3/7. Велосипед: 8/28 = 2/7. Проверка: 2/7 + 3/7 + 2/7 = 7/7 = 1 — все варианты покрыты.

Связь глубже, чем кажется: доля на диаграмме и есть вероятность для случайно выбранного человека. Если в школе 700 учеников и пропорция та же, то на автобусе едут 700 : 7 · 2 = 200 человек. Столбик в два раза выше соседнего — шанс попасть в него вдвое больше. Так данные опроса превращаются в предсказание.

Мостик работает и в обратную сторону: знаешь вероятность — предскажи количество. Из 420 учеников школы треть ходит в кружки: 420 : 3 = 140 человек. Столбик «кружковцы» занял бы ровно треть высоты всей диаграммы. Чем больше выборка, тем надёжнее такое предсказание: на 42 человеках случайность гуляет сильно, а на 420 — сглаживается.

Разбор типовой задачи

Задача: в коробке 4 красных, 5 синих и 3 зелёных карандаша. Ты тянешь один не глядя. Какова вероятность вытащить синий? А карандаш не зелёного цвета? Сначала прикинь на глаз: синих больше половины коробки или меньше?

Считаем шансы в коробке

Считаем все равновозможные исходы: 4 + 5 + 3 = 12 карандашей.
$4 + 5 + 3 = 12$
Синих 5 — благоприятных исходов пять, вероятность 5/12.
$P = \frac{5}{12}$
Не зелёных: красные и синие вместе, 4 + 5 = 9, вероятность 3/4.
$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
Проверка покрытия: три цвета вместе дают все шансы коробки.
$\frac{4}{12} + \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = 1$
Зелёных 3 из 12 — это четверть коробки.
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Противоположные события сходятся: «зелёный» и «не зелёный» покрывают всё.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Ответы: 5/12 и 3/4. Любая задача на вероятность начинается с подсчёта всех исходов — это знаменатель дроби. Потом считаются благоприятные — числитель. И финальная проверка рамкой: дробь обязана уместиться от 0 до 1. Заметь: 9/12 и 3/4 — одна и та же вероятность, просто вторая запись короче. Сокращай дроби в ответе, если числитель и знаменатель делятся на общее число: сравнивать их становится проще.

Словарь урока

Диаграмма#: рисунок, который показывает числа так, что их удобно сравнивать
Столбчатая диаграмма#: величины нарисованы столбиками: выше столбик — больше значение
Круговая диаграмма#: целое разрезано на доли; вся окружность — 360° или 100%
Случайное событие#: событие, которое может произойти, а может и не произойти
Вероятность#: доля благоприятных исходов среди всех равновозможных, число от 0 до 1
Равновозможные исходы#: исходы с одинаковыми шансами: грани кубика, стороны монеты

Как это спрашивают на контрольной

«Построй круговую диаграмму» — переведи доли в углы: четверть круга — 90°
«В классе 28, категория — 2/7. Сколько это человек?» — 28 : 7 · 2 = 8
«Какова вероятность чётного числа на кубике?» — 3 из 6, то есть 1/2
«Красных шаров 2/5, всего шаров 20. Сколько красных?» — 8
«Приведи пример достоверного и невозможного события» — «после ночи наступит утро» и «кубик покажет 7»

Вероятность в ответе записывай дробью вида 3/10 — так просит формат контрольной. Если в задаче сказано «случайный ученик» или «наугад» — это сигнал считать вероятность, а не долю в процентах. И проверяй сумму долей на диаграмме: она обязана дать целое.

Утверждение 1 из 5

Вероятность достоверного события равна 1

Верно или нет?

Проверь себя до тренажёра

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 4

Термины

Определения

Собери пары: шансы

Соедини событие с его вероятностью

Выучено: 0 из 5 · В колоде: 5

Карточки: вероятность

Колода по границам и шансам — повтори перед тренажёром.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Бросили игральный кубик. Какова вероятность выбросить ровно 5 очков? Ответ — дробь вида 1/6.

В пенале 3 ручки и 7 карандашей. Какова вероятность наугад достать ручку? Ответ — дробь.

Какое событие достоверное?

Верно ли, что вероятность может быть больше 1?

На столбчатой диаграмме столбик «автобус» — 12 человек, «пешком» — 9, «велосипед» — 3. Сколько всего учеников опросили?

На круговой диаграмме половина круга — «кошки», четверть — «собаки». Какая доля осталась «попугаям»?

Разложи события по категориям.

Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.

Дополни.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Вероятность — это отношение исходов ко всем возможным, и она не бывает больше .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Может ли вероятность быть равна 1,5?

Нет. Вероятность — доля благоприятных исходов от всех, а доля не бывает больше целого. Границы — от 0 до 1.

Чем круговая диаграмма отличается от столбчатой?

Круговая показывает доли одного целого, как разрезанный пирог. Столбчатая сравнивает отдельные величины высотой столбиков — удобно, когда части целым не являются.

Если шанс орла 1/2, он будет выпадать через раз?

Нет. Броски не зависят друг от друга, поэтому серия из пяти решек подряд так же возможна, как чередование. На длинной серии доли выравниваются.

Как перевести долю круговой диаграммы в градусы?

Умножь долю на 360°, потому что вся окружность — это 360 градусов. Четверть круга — это 360 : 4 = 90°, а восьмая часть — 45°.