Координатная плоскость

В морском бое ты кричишь «В3!» — и снаряд падает точно в нужную клетку, потому что буква и число задают пересечение двух линий. Ровно так устроена координатная плоскость: две перпендикулярные оси, и у любой точки на ней есть точный адрес из пары чисел. Так рисуют графики в играх, прокладывают маршруты навигаторы, а билет в кино «ряд 4, место 7» — это ведь тоже пара координат. Сейчас научишься читать такие адреса и строить точки по ним сам.

На листе проводят две взаимно перпендикулярные числовые прямые. Горизонтальную называют осью абсцисс и обозначают Ox, вертикальную — осью ординат, это ось Oy. Пересекаются они в точке O(0; 0) — начале координат. На каждой оси выбирают единичный отрезок, обычно одну клетку тетради, а стрелка показывает положительное направление: вправо по оси Ox и вверх по оси Oy. В противоположную сторону откладываются отрицательные числа — влево и вниз.

Абсцисса#

первая координата точки, ход по оси Ox

Ордината#

вторая координата, ход по оси Oy

Начало координат#

точка O(0; 0), в которой пересекаются оси

Единичный отрезок#

мерка для отсчёта координат, обычно одна клетка

Четверть#

одна из четырёх областей, на которые плоскость делится осями

Единичный отрезок не обязан быть одной клеткой. На карте города одной клеткой можно считать сто метров, на чертеже детали — один миллиметр, а на графике температуры по горизонтали одна клетка — это два часа. Меняется мерка — меняется масштаб, но правило одно: и по оси абсцисс, и по оси ординат откладывают равные единичные отрезки, иначе адреса точек исказятся.

Абсцисса и ордината: адрес точки

Точка записывается парой чисел в круглых скобках: сначала абсцисса, потом ордината. Запись A(−2; 3) расшифровывается так: из начала координат два шага влево по оси Ox и три шага вверх по оси Oy. Порядок в паре никогда не меняется: (2; 3) и (3; 2) — разные точки, как «ряд 2, место 3» и «ряд 3, место 2» в зрительном зале. Отдельная история — точки на самих осях: у точки (4; 0) ордината ноль, она лежит прямо на оси Ox, а точка (0; −3) прижата к оси Oy. Такие точки не принадлежат ни одной четверти.

Четверти и знаки координат

Оси делят плоскость на четыре части — четверти. Их нумеруют по кругу против часовой стрелки, начиная с верхней правой. В первой четверти обе координаты положительные, во второй абсцисса отрицательная при положительной ординате, дальше знаки чередуются. Знаки работают как почтовый индекс: взглянул на пару чисел — и сразу понял, в каком углу живёт точка.

Проверим таблицу на конкретных парах, не рисуя плоскость. Точка (4; 5): оба знака плюс — первая четверть. Точка (−6; 1): минус и плюс — вторая. Точка (−3; −8): оба минуса — третья. А вот (0; 9) в четверти не живёт: абсцисса ноль, точка стоит прямо на оси ординат.

Как построить точку по координатам

Построение всегда идёт в одном порядке: сначала горизонтальный ход по абсциссе, потом вертикальный по ординате. Тогда даже у точки с отрицательными координатами путь легко проследить пальцем по клеткам. Так же строят и несколько точек подряд, когда рисуют фигуру: каждая — два движения из начала координат. Разберём построение точки A(−2; 3) по шагам.

Для точки B(3; −2) ход обратный: три шага вправо и два вниз. Заметь: числа в записях A(−2; 3) и B(3; −2) те же самые, поменялся только порядок — и точки попали в разные четверти. Появление координат связывают с именем Рене Декарта: легенда рассказывает, что наблюдение за мухой на потолке подсказало ему мысль задавать положение точки расстояниями до двух стен. Была ли история на самом деле, точно не известно, но именно Декарт в XVII веке ввёл координаты в математику, и систему с тех пор называют декартовой.

Читаем графики: температура и маршрут

Координаты нужны не только чтобы отмечать точки, но и чтобы читать графики. Метеорологи несколько раз в сутки записывают температуру, и каждое измерение превращается в точку: в 6 часов было −4°, значит на графике появилась точка (6; −4). По оси абсцисс отложено время, по оси ординат — градусы. Хочешь узнать температуру в 14:00? Найди на горизонтальной оси число 14, поднимись вертикально до кривой и посмотри, какое число на оси Oy стоит напротив: например, 3°.

• самое холодное время суток — самая низкая точка кривой
• моменты, когда температура переходила через ноль, — точки пересечения графика с осью Ox
• как быстро теплеет утром — по крутизне подъёма линии

Так же читается маршрут. Пусть дом стоит в точке (0; 0), а турист записывает свои повороты: (3; 2), (3; 6), (7; 6). По координатам видно, что он прошёл 3 квартала на восток, затем 4 на север и ещё 4 снова на восток. Навигатор считает путь точно так же: складывает длины участков и по разности координат отвечает, как далеко ты уехал от исходной точки.

Фигуры на координатной плоскости — это наборы вершин. Прямоугольник задаётся четырьмя точками, и если его стороны параллельны осям, у соседних вершин совпадает одна из координат. Возьмём A(1; 1), B(1; 4), C(5; 4), D(5; 1): у A и B одинаковая абсцисса — сторона AB вертикальна, у B и C одинаковая ордината — сторона BC горизонтальна.

Работает и обратная задача: по готовому рисунку записывают координаты. Чтобы назвать координату вершины, опусти из неё перпендикуляры на обе оси и прочитай числа: где перпендикуляр встретил ось Ox — это абсцисса, где ось Oy — это ордината. Тот же приём работает на географической карте: город находят по паре чисел, а навигатор по координатам ведёт к нему маршрут. Один навык на всё: пара чисел превращается в точку, точка — в пару чисел.

Координаты делают простым отражение — симметрию. Симметрия относительно оси ординат меняет знак абсциссы: у точки (3; 5) двойник (−3; 5). Симметрия относительно оси абсцисс переворачивает ординату: получится (3; −5). А симметрия относительно начала координат меняет знаки обеих координат сразу: (3; 5) переходит в (−3; −5). Проверь на листе в клетку: сложи его по оси и проколи точку иглой — отверстие появится точно в точке-двойнике.

Координаты в играх и на карте

Игроки в морской бой на самом деле строят координатную плоскость, только по горизонтали у них буквы: «а5», «д9». В шахматах доска размечена буквами от a до h и числами от 1 до 8, и каждый ход — координата: запись e2—e4 означает переход с клетки e2 на клетку e4. Широта и долгота в навигаторе — та же идея в масштабе планеты: два числа задают точку на поверхности Земли. Даже в компьютерной игре положение персонажа хранится парой (x; y), а в трёхмерных играх добавляют третью координату — высоту z.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема