Раскрытие скобок. Подобные слагаемые

В пенале 5 ручек и 3 карандаша, ты докупил ещё 2 ручки. Сколько всего? Ручки складываем с ручками: 5 + 2 = 7, итого 7 ручек и 3 карандаша. В буквенных выражениях то же самое: 5x + 3y + 2x = 7x + 3y — «ручки» с ручками, «карандаши» с карандашами. Это и есть приведение подобных слагаемых. Второй инструмент урока — раскрытие скобок, без него выражения не упростить.

Правило скобок: если перед скобками плюс, просто убери их — знаки не меняются: 4 + (a − b) = 4 + a − b. Если минус — убери скобки и поменяй все знаки внутри: 4 − (a − b) = 4 − a + b. А если перед скобками множитель, работает распределительное свойство: каждое слагаемое умножается на него. Проверь на числах: 3 · (10 − 4) = 3 · 10 − 3 · 4 = 18 — оба способа дают одно и то же.

В кошельке было 500 рублей, ты потратил 120 на проезд и 80 на воду: 500 − (120 + 80) = 300. Уберём скобки — минус распределяется на каждое слагаемое: 500 − 120 − 80, ответ тот же. А если кассир ошибся и вернул тебе 50, запись 500 − (−50) превращается в 550: минус на минус дал плюс.

Раскрывая скобки после множителя, умножай все слагаемые: 3 · (x − 2) = 3x − 6, а не 3x − 2. Проверка числами при x = 5 даёт 9 в обеих записях — так ловится потерянный множитель. И помни: подобные слагаемые ищутся по одинаковой буквенной части, а не по похожим цифрам.

Проверка числами: ловим ошибку за пять секунд

У раскрытия скобок есть бесплатная самопроверка — подстановка маленького числа. Упростил 3 · (x − 4) в 3x − 12? Подставь x = 5: слева 3 · (5 − 4) = 3, справа 3 · 5 − 12 = 3. Сошлось — раскрытие верное. А если бы ты написал 3x − 4, при x = 5 вышло бы 11 — расхождение сразу кричит об ошибке. Чем меньше подставляемое число, тем быстрее счёт, поэтому берут 1, 2 или 3.

Проверка работает и для минуса перед скобками. Выражение 10 − (a + 3) при a = 2: напрямую 10 − 5 = 5. После раскрытия 10 − 2 − 3 = 5 — совпало, знаки поменялись правильно. А неверное раскрытие 10 − 2 + 3 дало бы 11 — сразу видно промах. Такой прогон занимает меньше времени, чем перечитывание правила.

Подстановка проверяет и приведение подобных. Собрал 7y − 2y + y в 6y? Подставь y = 3: слева 21 − 6 + 3 = 18, справа 6 · 3 = 18 — сошлось. А после «удачного» упрощения в 4y слева вышло бы 18, а справа 12: расхождение сразу показывает потерянное слагаемое.

Скобки в задачах про покупки

Один комплект к школе — тетрадь за 45 рублей и папка за 120. Купили 4 комплекта: 4 · (45 + 120). Распределительное свойство раскладывает счёт: 4 · 45 + 4 · 120 = 180 + 480 = 660 рублей. Прямым путём: 4 · 165 = 660 — совпало. Если на всю покупку дали скидку 60 рублей, запись продолжается: 660 − 60 = 600.

А если скидка 15 рублей на каждый комплект? Тогда скобка собирает цену со скидкой: 4 · (165 − 15) = 4 · 150 = 600 — тот же итог другим путём. Подписка на онлайн-словарь стоит 199 рублей в месяц плюс 49 за доставку: за год 12 · (199 + 49) = 12 · 199 + 12 · 49 = 2388 + 588 = 2976 рублей. Скобки и множитель часто экономят не усилия, а нервы: одна запись вместо двенадцати.

Поход в кино с двумя друзьями: билет 350, попкорн 250. Три одинаковых набора — это 3 · (350 + 250). Скобку считают один раз: 3 · 600 = 1800. Распределительное свойство даёт тот же итог: 3 · 350 + 3 · 250 = 1050 + 750 = 1800. Когда внутри скобки круглые числа, прямой путь даже быстрее.

Цепочки скобок: два раскрытия подряд

Когда скобок несколько, работают те же правила — по очереди для каждой. Пример: 15 − (3 + 2) + (8 − 6). Первая скобка стоит после минуса: 15 − 3 − 2. Вторая после плюса: + 8 − 6. Итоговая цепочка: 15 − 3 − 2 + 8 − 6 = 12. Проверка прямым счётом: 15 − 5 + 2 = 12 — сошлось.

С буквами то же самое: 4x − (2x − 5) + (x − 1) = 4x − 2x + 5 + x − 1. Приводим подобные: 4x − 2x + x = 3x, а числа 5 − 1 = 4, итог 3x + 4. Проверка при x = 1: слева 4 − (2 − 5) + (1 − 1) = 4 + 3 + 0 = 7, справа 3 · 1 + 4 = 7. Две скобки, два разных правила — и ни одной потери знака.

Вложенные скобки: раскрываем изнутри

Если скобка стоит внутри скобки, правила не меняются — просто работаем в два прохода, изнутри наружу. Возьмём 7 − (4 − (2 + 1)). Внутреннюю скобку сначала просто посчитаем: 2 + 1 = 3, и выражение станет 7 − (4 − 3). Теперь внешняя скобка после минуса: 7 − 4 + 3 = 6. Проверка прямым счётом: 4 − 3 = 1, а 7 − 1 = 6 — сошлось. Главная привычка: не пытайся развернуть обе скобки одним взглядом — сначала закрой вопрос с внутренней.

Разбор типовой задачи

Задача: упрости выражение 5a − (3a − 4) + 2a − 1 и найди его значение при a = 2. Сделай проверку подстановкой.

Ответ: 4a + 3, при a = 2 это 11. Цепочка «раскрыл — привёл — подставил — проверил» — стандартный маршрут контрольной задачи на упрощение. Проверка подстановкой ловит даже ту ошибку, которую глаз проглядел.

Скобки в уравнениях

На контрольной скобки чаще всего встречаются внутри уравнений, и маршрут тот же: сначала раскрытие, потом решение. Уравнение 3(x − 2) + 4 = 16: распределительное свойство даёт 3x − 6 + 4 = 16, слева собираем подобные — 3x − 2 = 16, переносим двойку — 3x = 18, и x = 6. Проверка: 3 · (6 − 2) + 4 = 12 + 4 = 16 — сходится. Если перед скобкой минус, не забывай про знаки: 5 − (x − 1) = 8 превращается в 5 − x + 1 = 8, откуда 6 − x = 8 и x = −2; подстановка 5 − (−2 − 1) = 5 + 3 = 8 подтверждает ответ. Ошибка в раскрытии здесь фатальна: она портит всё уравнение, поэтому первый шаг всегда делай медленно.

Полезно смотреть на скобки и с другой стороны — когда они лишние. В записи (a + b) + c скобки ничего не меняют: сложение выполняется в любом порядке, и запись можно упростить до a + b + c. А вот в 2 + 3 · 4 скобки уже решают: сначала умножение, поэтому без скобок выйдет 14, а запись (2 + 3) · 4 даёт 20 — скобка пересилила приоритет умножения. То же с минусом перед скобкой: 10 − (4 + 3) и 10 − 4 + 3 — это разные числа, 3 и 9. Смотри на скобку как на кнопку приоритета: либо она ничего не меняет и её можно убрать, либо она переводит вычисление на другой маршрут.

Словарь урока

Коэффициент#

числовой множитель при буквенной части: у −7x это −7

Подобные слагаемые#

слагаемые с одинаковой буквенной частью: 5x и −2x

Буквенная часть#

буквенная запись слагаемого: в 3ab это ab

Раскрытие скобок#

переход от записи со скобками к записи без них по правилам знаков

Распределительное свойство#

правило для множителя перед скобками: он умножается на каждое слагаемое

Приведение подобных#

сложение коэффициентов у подобных слагаемых

Как это спрашивают на контрольной

• «Раскрой скобки: 7 − (x − 3)» — меняются оба знака: 7 − x + 3
• «Упрости 2(a + 5) + 3a» — раскрой и приведи: 5a + 10
• «Вычисли удобно: 38 · 7 + 38 · 3» — вынеси 38 за скобки: 38 · 10 = 380
• «Найди значение 4x − 12 при x = 5» — подставь и посчитай: 8
• «Верно ли 5 − (2 − 3) = 5 − 2 − 3?» — нет: после минуса знак у тройки меняется

Отдельный тип вопросов — обратное действие: вынесение общего множителя. Запись 9 · 4 − 9 · 2 = 9 · (4 − 2) читает распределительное свойство справа налево. Умение ходить в обе стороны проверяют в задачах на удобный счёт: вынесенное за скобки число часто собирает круглые числа.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема