Колебательный контур

Крутишь ручку старого радиоприёмника — и одна станция сменяет другую: сначала разговоры, потом музыка, потом шипение. Никакой магии: под ручкой прячется конденсатор переменной ёмкости, соединённый с катушкой в колебательный контур. Поворот ручки меняет собственную частоту контура, и приёмник вылавливает из антенны ту станцию, чья частота совпала с его собственной. Те же колебания идут и в передатчике на той стороне города — только там их усиливают и выпускают в эфир. Контур из конденсатора и катушки — сердце всей радиотехники: от первой искровой телеграфии до Wi-Fi. Задача урока — понять, как в этой паре деталей рождаются колебания, чему равен их период и при чём здесь качели.

Конденсатор плюс катушка: рождение колебаний

Возьмём идеальную пару: конденсатор ёмкостью $C$ и катушку с индуктивностью $L$, соединённые в кольцо с ничтожно малым сопротивлением. Зарядим конденсатор от батарейки и уберём её — система предоставлена самой себе. Заряженные обкладки тянутся друг к другу, и через катушку начинается разряд. Но катушка не даёт току вырасти мгновенно: изменение тока возбуждает в ней ЭДС самоиндукции, которая тормозит нарастание. Когда конденсатор разрядился до нуля, ток уже разогнался до максимума, и остановиться он не может — по той же самоиндукции. Ток продолжает течь в ту же сторону и перезаряжает конденсатор обратной полярностью. Полярность поменялась — и всё повторяется в обратном направлении: разряд, разгон тока, перезаряд. Так в цепи возникают свободные электромагнитные колебания — процесс, повторяющийся через равные промежутки времени без внешней подпитки.

Почему же катушка так упряма? Работает правило Ленца: индуцированный ток всегда направлен против изменения, его породившего. Чем быстрее меняется ток, тем сильнее ЭДС самоиндукции его тормозит, — и наоборот: при попытке разорвать цепь с большим током катушка даёт мощную искру, отрабатывая резкое падение. Ток в катушке похож на разогнанную тележку: ни остановить мгновенно, ни разогнать мгновенно нельзя — только плавно. Именно это свойство и делает контур колебательным: катушка не даёт разряду пройти мгновенным хлопком и заставляет процесс растянуться на период.

Перекачка энергии: четверть периода на одну передачу

В идеальном контуре без потерь полная энергия сохраняется — она просто переселяется между двумя полями. Пока заряд конденсатора максимален, ток равен нулю и вся энергия сидит в электрическом поле между обкладками. Четверть периода спустя конденсатор разряжен, ток достиг наибольшей силы, и энергия целиком переехала в магнитное поле катушки. Ещё четверть — и конденсатор заряжен с обратной полярностью, ток снова ноль. Так энергия ходит по кругу: электрическое поле — магнитное — электрическое, как потенциальная энергия качелей превращается в кинетическую и обратно. Заряд и ток колеблются со сдвигом на четверть периода: где пик заряда — там ноль тока, где пик тока — там ноль заряда. Подключи к контуру осциллограф — и передача видна как два чередующихся горба, строго по расписанию.

График колебаний: гармоника на экране

Заряд конденсатора меняется по закону косинуса: максимум в нулевой момент, ноль через четверть периода, обратный максимум через половину. Ток ведёт себя как синус со сдвигом на четверть периода — поэтому его пики ровно в те моменты, когда заряд пересекает ноль. Такие колебания называют гармоническими: у них есть амплитуда, период и плавный синусоидальный профиль. Циклическая частота ω из формулы ниже — это просто частота, умноженная на два пи. Именно такой узор рисует осциллограф, подключённый к контуру, — и по расстоянию между пиками на экране можно прочитать период колебаний.

Аналогия с маятником: почему формулы похожи

Механические и электромагнитные колебания описываются одной и той же математикой, и соответствие получается почти словарное. Качели в крайнем положении — это заряженный конденсатор: запас энергии максималь, движение замирало. Качели в нижней точке — это максимальный ток в катушке: скорость наибольшая, отклонение нулевое. Роль массы у катушки играет индуктивность: и то и другое — «инертность», не позволяющая мгновенно изменить движение. Роль жёсткости пружины — обратная ёмкость: меньше ёмкость, жёстче контур. Инженеры пользуются этим словарём всерьёз: задачу из радиотехники можно решить на механическом макете и наоборот. А сам факт совпадения формул не случайность: обе системы описываются одинаковыми уравнениями.

Формула Томсона

Уильям Томсон — тот самый лорд Кельвин, чьим именем названа шкала температур, — вывел в девятнадцатом веке период свободных колебаний контура. Ответ красивый: период пропорционален корню из произведения ёмкости на индуктивность. Увеличил ёмкость в четыре раза — период вырастет лишь вдвое: величины стоят под корнем. Частота — обратная величина к периоду, и она тоже выражается через корень. Заметь, что формула для маятника и формула для контура совпадают с точностью до словаря из таблицы выше: это не случайность, а следствие одинаковых уравнений для обеих систем.

Затухание и резонанс: как приёмник выбирает станцию

В реальном контуре всегда есть сопротивление проводов: ток греет их, энергия понемногу покидает систему, и размах колебаний падает — колебания затухают. Качество контура описывают добротностью — числом колебаний, которое контур успевает сделать до заметного затухания: чем выше добротность, тем дольше звенит система и тем острее она выбирает свою частоту. Чтобы колебания жили вечно, нужны подпитки — вынужденные колебания: антенна приёмника непрерывно подбрасывает в контур сигналы всех станций сразу. Выручает резонанс: контур откликается на внешнюю частоту тем сильнее, чем ближе она к его собственной, а на далёкие частоты почти не смотрит. Крутя ручку настройки, ты меняешь ёмкость — сдвигаешь собственную частоту — и контур «выбирает» из эфира одну станцию. Совпала частота — музыка; не совпала — тишина или шипение.

От контура к радио: открытая антенна и модуляция

Замкнутый контур колеблется вполголоса: его поля заперты между обкладками и витками. Растяни контур в длинный провод — получится открытый колебательный контур, антенна, и её поля уже уходят в пространство электромагнитной волной со скоростью света: триста тысяч километров в секунду, так что волна станции на сто мегагерц имеет длину три метра. На передающей станции звук накладывают на несущую частоту — это модуляция: меняют амплитуду или частоту волны в такт сигналу микрофона. Приёмник проделывает обратное: резонансный контур выделяет нужную несущую, а дальше из неё извлекают звук. Первый практический приёмник продемонстрировал Александр Попов в 1895 году, а сегодня те же резонансы, только на гигагерцах и в миниатюре, работают в телефоне и роутере — катушки и конденсаторы там подросли до крошечных плёночных структур, но задача осталась прежней: выделить одну частоту из эфира.

Урок замыкает большую дугу курса: качели и маятник девятого класса, электромагнитная индукция одиннадцатого и конденсаторы десятого собрались в одну систему, которая умеет колебаться сама и ловить волны. Дальше по программе — электромагнитные волны и оптика, где понесшийся из антенны сигнал станет главным героем. Квиз и тренажёр ниже — проверь, что формулу Томсона ты выводишь быстрее, чем крутится ручка настройки.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема