Площади поверхностей цилиндра, конуса и шара — геометрия 11 класс — тренажёр

Пример 1. Цилиндр: радиус основания 4 м, высота 5 м, π ≈ 3. Найди площадь полной поверхности в м².

Подсказка. Боковая плюс два круга.

Как решать. S = 2πr(r + h) ≈ 2·3·4·(4 + 5) = 6·4·(4+5).

Ответ: 216

Пример 2. Сфера радиуса 2 м, π ≈ 3. Найди площадь сферы в м².

Подсказка. Формула с четырьмя.

Как решать. S = 4πr² ≈ 4·3·2² = 12·2·2.

Ответ: 48

Пример 3. Конус: радиус основания 4 см, высота 5 см. Найди квадрат образующей.

Подсказка. Образующая — гипотенуза.

Как решать. l² = r² + h² = 4² + 5².

Ответ: 41

Пример 4. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 9 см. Найди диаметр основания цилиндра в см.

Подсказка. Сторона квадрата — это диаметр.

Как решать. Сторона осевого сечения равна диаметру: 2r = 9, значит диаметр — 9 см.

Ответ: 9

Пример 5. Цилиндр: радиус основания 1 м, высота 9 м, π ≈ 3. Найди площадь полной поверхности в м².

Подсказка. Боковая плюс два круга.

Как решать. S = 2πr(r + h) ≈ 2·3·1·(1 + 9) = 6·1·(1+9).

Ответ: 60

Пример 6. Сфера радиуса 6 м, π ≈ 3. Найди площадь сферы в м².

Подсказка. Формула с четырьмя.

Как решать. S = 4πr² ≈ 4·3·6² = 12·6·6.

Ответ: 432

Пример 7. Конус: радиус основания 3 см, высота 4 см. Найди квадрат образующей.

Подсказка. Образующая — гипотенуза.

Как решать. l² = r² + h² = 3² + 4².

Ответ: 25

Пример 8. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6 см. Найди диаметр основания цилиндра в см.

Подсказка. Сторона квадрата — это диаметр.

Как решать. Сторона осевого сечения равна диаметру: 2r = 6, значит диаметр — 6 см.

Ответ: 6

Пример 9. Цилиндр: радиус основания 3 м, высота 8 м, π ≈ 3. Найди площадь полной поверхности в м².

Подсказка. Боковая плюс два круга.

Как решать. S = 2πr(r + h) ≈ 2·3·3·(3 + 8) = 6·3·(3+8).

Ответ: 198

Пример 10. Сфера радиуса 4 м, π ≈ 3. Найди площадь сферы в м².

Подсказка. Формула с четырьмя.

Как решать. S = 4πr² ≈ 4·3·4² = 12·4·4.

Ответ: 192

Пример 11. Цилиндр: радиус основания 5 м, высота 3 м, π ≈ 3. Найди площадь полной поверхности в м².

Подсказка. Боковая плюс два круга.

Как решать. S = 2πr(r + h) ≈ 2·3·5·(5 + 3) = 6·5·(5+3).

Ответ: 240

Пример 12. Конус: радиус основания 5 см, высота 8 см. Найди квадрат образующей.

Подсказка. Образующая — гипотенуза.

Как решать. l² = r² + h² = 5² + 8².

Ответ: 89

Пример 13. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 2 см. Найди диаметр основания цилиндра в см.

Подсказка. Сторона квадрата — это диаметр.

Как решать. Сторона осевого сечения равна диаметру: 2r = 2, значит диаметр — 2 см.

Ответ: 2

Пример 14. Цилиндр: радиус основания 4 м, высота 4 м, π ≈ 3. Найди площадь полной поверхности в м².

Подсказка. Боковая плюс два круга.

Как решать. S = 2πr(r + h) ≈ 2·3·4·(4 + 4) = 6·4·(4+4).

Ответ: 192

Пример 15. Сфера радиуса 7 м, π ≈ 3. Найди площадь сферы в м².

Подсказка. Формула с четырьмя.

Как решать. S = 4πr² ≈ 4·3·7² = 12·7·7.

Ответ: 588

Пример 16. Конус: радиус основания 2 см, высота 8 см. Найди квадрат образующей.

Подсказка. Образующая — гипотенуза.

Как решать. l² = r² + h² = 2² + 8².

Ответ: 68

Вопрос 1. Радиус основания цилиндра 3 см, высота 5 см. Найди площадь боковой поверхности в см², считая π ≈ 3.

Ответ: 90

Пояснение. Боковая поверхность — 2πrh ≈ 2 · 3 · 3 · 5 = 90 см².

Вопрос 2. Осевое сечение конуса — это...

Ответ: равнобедренный треугольник

Пояснение. Разрез через ось даёт треугольник со сторонами l, l и 2r.

Вопрос 3. Любое сечение шара плоскостью — круг.

Ответ: Верно

Пояснение. Как ни режь шар, сечение всегда круг; меняется только его радиус.

Вопрос 4. Найди площадь сферы радиуса 5 см, считая π ≈ 3.

Ответ: 300

Пояснение. S = 4πr² ≈ 4 · 3 · 25 = 300 см².

Вопрос 5. Что верно для образующей конуса l?

Ответ: соединяет вершину с окружностью основания; не короче высоты конуса; находится из l² = r² + h²

Пояснение. Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами r и h, поэтому она длиннее высоты.

Вопрос 6. Расставь тела по возрастанию площади боковой поверхности (считай π ≈ 3).

Ответ: цилиндр: r = 1, h = 3 → цилиндр: r = 2, h = 2 → конус: r = 3, l = 5

Пояснение. Боковые поверхности: 2·3·1·3 = 18, 3·3·5 = 45 и 2·3·2·2 = 24 — порядок 18, 24, 45.

Вопрос 7. Соедини тело и его сечение или развёртку.

Пояснение. Каждое тело вращения узнаётся по своему разрезу и своей развёртке.

Вопрос 8. Вставь пропуски.

Ответ: основания → треугольник → образующая

Пояснение. У цилиндра два круглых основания, осевой разрез конуса — треугольник, а наклонный отрезок к окружности — образующая.