Как найти среднюю скорость: формула и участки

Ты выехал на трассу и разогнался до 90 км/ч, а через деревни полз на 60. Друзья спросили, с какой скоростью ехали, — рука сама тянется назвать 75, полусумму. Навигатор в этот момент показывает 72, и это не глюк: он честно разделил весь путь на всё время, а ты сложил скорости, которые складывать нельзя. Средняя скорость — одна из самых обманчивых величин школьной физики и математики: формула в ней одна, зато ловушек много. Дальше разберём определение, три сценария с двумя участками, случай с тремя участками и остановкой, соберём таблицу-шпаргалку и научимся проверять ответ за пять секунд. Свои маршруты удобно прогонять в калькуляторе средней скорости (/calc/srednyaya-skorost/) — там есть режимы для двух участков, половин пути и списка до десяти кусков.

Определение: весь путь на всё время

Средняя скорость описывает движение целиком, а не отдельные куски. Определение такое: сложи пути всех участков, сложи время всех участков и раздели первое на второе. Не «какая-то средняя из списка скоростей», а отношение двух сумм — и считать нужно ровно в этом порядке. Ключевые слова условия переводятся просто: «проехал два часа» — готовое время в знаменатель, «половину пути» — это $\frac{S}{2}$ в числителе, «отдыхал полчаса» — тоже время, и оно входит в знаменатель, если вопрос про весь маршрут. Остановки, светофоры и привалы честно работают на общее время: стоянка — участок с нулевой скоростью, и он тянет среднюю вниз сильнее, чем кажется. Единицы приведи заранее: километры с часами либо метры с секундами, минуты — долями часа, иначе в дроби перемешаются разные меры времени.

Почему среднее арифметическое не работает, видно из определения: средняя скорость взвешена временем. Участок, на котором тело провело дольше, вносит в знаменатель больший вклад, и тянет ответ к своей скорости. Складывать скорости «как обычные числа» можно только в одном случае — когда участки заняли одинаковое время, и только тогда вклады равноправны. Час на 25 км/ч плюс час на 15: путь 40 километров, время два часа, средняя ровно 20 — полусумма совпала с истиной. Но это совпадение, а не правило, и экзаменационные условия специально дают разные времена, чтобы поймать привычку усреднять.

Два участка: три сценария

Первый сценарий — равные времена: среднее арифметическое скоростей даёт точный ответ, смотри пример выше с 25 и 15. Второй сценарий — равные пути: времена разные, и работает формула гармонического среднего — удвоенное произведение скоростей, делённое на их сумму. Для 90 и 60 это $\frac{2\cdot 90\cdot 60}{150}=72$ км/ч. Полезно знать её свойство: ответ всегда ближе к меньшей скорости и всегда ниже полусуммы, когда скорости разные. Третий сценарий — общий: пути и скорости любые, времен в условии нет. Тогда сначала найди время каждого участка — путь делить на его скорость, — потом сложи пути и времена и раздели. Эти три сценария закрывают почти все контрольные задачи с двумя участками.

Три участка и больше решаются по той же схеме, просто держи порядок: время каждого участка, суммы, одно деление. Удобно вести таблицу строками: участок, путь, скорость, время — и заполнять её до самого конца. Если в условии даны пути и времена — времена складываются сразу. Если даны пути и скорости — времена считаются делением. Если даны скорости и времена — пути считаются умножением. Любая из трёх комбинаций сводится к одному и тому же финалу: числитель из путей, знаменатель из времён.

Где средняя скорость ещё пригодится

То же определение работает везде, где есть путь и время: спортивные часы считают средний темп, навигатор — среднюю скорость по трекам, расписания учитывают стоянки. В ОГЭ по физике это задачи на движение с двумя участками, в ЕГЭ по математике — сюжетные задачи, где без «весь путь на всё время» теряется балл. Если хочется системной тренировки по всем текстовым задачам на движение, открой гайд /guides/kak-reshat-zadachi-na-dvizhenie/ — там собраны соседние сюжеты: встречное движение, движение по реке, догонялки. Алгоритм из этого гайда — их фундамент: перечисли куски, собери пути и времена, раздели. Осталось прогнать три задачи из домашки по этой схеме, и рука перестанет тянуться к полусумме.