Как решать задачи на движение: метод и таблица
Задачи на движение ломаются не на формулах, а на порядке: кто, откуда и с какой скоростью. Здесь — универсальная таблица v, t и S, разбор навстречу, вдогонку, рек и круговых трасс, две главные ловушки и мини-словарь темы.
Задачи на движение пугают одним только видом: два поезда, теплоход против течения, круговая трасса — и всё одновременно. Между тем это самый предсказуемый тип задач школьной математики: от пятого класса до ОГЭ и профильного ЕГЭ в них работают одна и та же таблица, одна формула и несколько типовых сюжетов. Разберём систему: как разложить любое условие на скорость, время и путь, что складывать, а что вычитать и где задачу специально подстраивают, чтобы сбить с толку.
Универсальный метод: таблица со столбиками v, t и S
Любая задача на движение — это три величины: скорость, время и путь. Для каждого участника движения заведи одну строку и три столбика: v — скорость, t — время, S — путь. Заполни ячейки из условия, а недостающее обозначь за x. Как только таблица заполнена, уравнение обычно видно само: либо пути складываются в общий, либо времена связаны через «вышел раньше», либо приравниваются расстояния. Таблица — половина решения, и она же спасает, когда условие длинное и запутанное.
- Прочитай условие дважды и выпиши в таблицу всех участников: по строке на поезд, лодку или пешехода. Отдельная строка — для общего пути или встречи, если она есть.
- Заполни известные ячейки v, t и S из условия. Неизвестную величину обозначай за x прямо в таблице, а не в уме.
- Переведи единицы: если скорость в км/ч, то время — в часах и путь — в километрах. Смесь метров и минут в одной строке — самая частая причина абсурдного ответа.
- Собери уравнение из таблицы: складывай пути при встрече, приравнивай расстояния, связывай времена через разницу «вышел раньше — пришёл позже».
- Реши уравнение и отбрось корни, которые не подходят по смыслу: отрицательное время и скорость «минус двадцать километров в час» не физичны. Сверь ответ с вопросом задачи.
| Столбик | Что в него писать | Пример записи |
|---|---|---|
| v — скорость | Собственную скорость каждого участника; для лодки — уже с учётом течения или против | лодка: 12 км/ч, течение: 2 км/ч |
| t — время | Время движения каждого; если кто-то вышел позже, связка пишется прямо здесь | первый в пути на час дольше: t1 = t2 + 1 |
| S — путь | Путь каждого участника; при встречном движении пути в сумме дают расстояние между пунктами | S1 + S2 = 140 км |
Эта заготовка закрывает подавляющее большинство задач на движение: от простейших в пятом классе до текстовой задачи второй части профильного ЕГЭ. Дальше — чем отличаются сюжеты и что в каждом складывать.
Движение навстречу и вдогонку
Когда два объекта движутся навстречу, расстояние между ними тает со скоростью суммы их скоростей: один съедает путь с одного конца, второй — с другого. Когда один догоняет другого, расстояние сокращается со скоростью разности: быстрый наверстывает ровно на столько, на сколько он быстрее. Отсюда главное правило сюжета: навстречу — складываем, вдогонку — вычитаем. Время встречи — это начальное расстояние, делённое на скорость сближения.
Мини-пример: пешеходы идут навстречу со скоростями 4 и 6 км/ч, между ними 15 км. Скорость сближения 10 км/ч, значит, встреча через полтора часа. Если бы один догонял другого с отставанием в те же 15 км, потребовалось бы 15, делённое на разницу скоростей, — семь с половиной часов. Заметь, как меняется результат при одинаковых числах: сюжет решает всё, поэтому перед подстановкой спроси себя — навстречу или вдогонку?
Движение по реке: течение как третий участник
Течение — это третий участник задачи со своей скоростью. По течению река помогает, и скорости складываются; против — мешает, и течение вычитается. Скорость плота равна скорости течения: у плота нет двигателя, он просто плывёт по реке. Отдельный подтип — «лодка ушла и вернулась»: время туда и обратно разное, хотя путь одинаковый, и именно на этом строятся вопросы задач.
Круговая трасса и средняя скорость
На замкнутой трассе два спортсмена, стартовавшие из одной точки в одну сторону, встречаются, когда быстрый выигрывает у медленного ровно один круг: разрыв в пути равен длине круга. Если едут в разные стороны, при каждой встрече вместе они наматывают круг, и скорость сближения снова сумма. Средняя скорость — отдельная история: это весь путь, делённый на всё время, включая остановки и медленные участки, а не «что-то среднее между скоростями».
Мини-словарь темы
- Скорость сближения#
- На сколько километров в час сокращается расстояние между объектами: сумма скоростей навстречу или разность вдогонку
- Скорость удаления#
- На сколько расстояние растёт, когда объекты расходятся или быстрый убегает от медленного
- Собственная скорость#
- Скорость лодки в стоячей воде, без помощи и противодействия течения
- Скорость течения#
- Скорость, с которой река несёт плот; по течению прибавляется к собственной скорости, против — вычитается
- Средняя скорость#
- Весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время, включая остановки
- Круговая трасса#
- Замкнутый маршрут, где встречи повторяются: в одну сторону — через разность скоростей, в разные — через сумму
Первый шаг — прямо сегодня: возьми одну задачу на движение из домашки или из разбора /oge/matematika/zadanie-21-oge-m21-tekstovaya-zadacha/ и реши её строго таблицей v, t, S — от условия до проверки корня по смыслу. Дальше тренируй сюжеты по одному: встречные поездки и простые сюжеты — задание на текстовые задачи ОГЭ /oge/matematika/zadanie-5-oge-math-tekstovye-zadachi/ и первая задача профильного ЕГЭ /ege/matematika-profil/zadanie-1-prosteyshie-tekstovye-zadachi/; если неизвестных два, вспомни системы уравнений по уроку /algebra/7-klass/sistemy-uravnenij/. Как движение устроено в физике — где скорость в метрах в секунду и графики важнее арифметики — покажет урок /fizika/7-klass/mehanicheskoe-dvizhenie/, а разборы первой задачи /ege/fizika/zadanie-1-fizika-kinematika-zadanie-1/ и графиков движения /ege/fizika/zadanie-6-fizika-grafiki-dvizheniya/ закроют физическую сторону. Быстро посчитать путь, время или скорость можно в калькуляторах /calc/skorost/ и /calc/kinematika/. Методику решения физических задач со схемой «дано, СИ, решение» разложили в гайде /guides/kak-reshat-zadachi-po-fizike/, а привычки против ошибок в любой задаче — в гайде /guides/kak-nauchitsya-reshat-zadachi-po-matematike/.
Мини-квиз на отдыхе
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какой режим подготовки эффективнее?
Частые вопросы
В каких задачах скорости складываются, а в каких вычитаются?
Складываются, когда объекты движутся навстречу друг другу или в противоположные стороны: вместе они покрывают общее расстояние. Вычитаются, когда один догоняет другого или оба едут в одну сторону — важна лишь разница, насколько быстрый опережает медленного.
Почему средняя скорость не равна среднему арифметическому?
Потому что время на разных участках разное: медленный участок занимает больше времени и сильнее тянет среднюю вниз. Средняя скорость определяется только через весь путь и всё время, поэтому при равных половинах пути со скоростями 60 и 40 км/ч получается 48, а не 50.
Какие единицы использовать в ответе?
Те, о которых спрашивает условие: если вопрос про часы и километры, отвечай в них, даже если считал в других. До составления уравнения приведи все величины к одной системе, а в конце при необходимости переведи обратно.
Что делать, если в задаче два неизвестных?
Обозначь за x время или скорость, а вторую величину вырази через неё по формуле путь равен скорости на время. Если одного уравнения не хватает, составь систему из двух: таблица v, t, S как раз подсказывает, какие две строки дают независимые связи.