Как решать задачи по математике: от условия до проверки

Классическая боль: теорию выучил, примеры из учебника решаешь, а чуть изменили формулировку — ступор. Происходит это потому, что между теорией и ответом есть невидимый шаг, которому почти не учат: перевод русского текста на язык математики. Задача «поезд выехал на два часа раньше» — это уравнение, только написанное словами. Ниже — как устроен этот перевод и что делать с условием, которое не читается.

Шаг первый: превратить условие в данные

Читай условие не глазами, а с ручкой, и задавай тексту четыре вопроса. Что известно — выписывай. Что спрашивают — называй буквой и пиши «найти». Как величины связаны — это самое важное: «на 12 больше», «в три раза меньше», «столько же», «вместе за час» — каждая фраза переводится в запись. Что не сказано, но очевидно: сутки 24 часа, в неделе 7 дней, весь бассейн — единица. Числа, которые пишутся в задачах «для атмосферы», обычно ложные следы: спроси себя, зачем это число в условии и куда оно встанет в уравнение.

• «На 12 больше» — к неизвестному прибавляем двенадцать.
• «В три раза меньше» — неизвестное делим на три.
• «Столько же» — та же величина появляется в уравнении ещё раз.
• «Вместе за час» — производительности участников складываются.
• «На два часа позже» — к времени первого прибавляем два.

Держи этот переводчик при решении первых двадцати задач, и он уйдёт в автоматизм. Дальше работает второй уровень: фразы вида «всего они проехали двести километров» собираются в уравнение суммой, а «встретились через два часа» означает, что у обоих время одинаковое. Отдельно тренируй таблицу «скорость, время, путь»: три столбца, каждая строка — участник движения. В половине задач на движение уравнение появляется сразу, как только таблица заполнена.

• Выпиши все числа с единицами и подписями: не «12», а «12 км за час».
• Сформулируй вопрос своими словами и запиши: «найти скорость второго поезда».
• Отметь слова-связки: «больше», «меньше», «вместе», «позже», «столько же» — они станут знаками в уравнении.
• Нарисуй картинку: отрезок пути, таблицу «скорость-время-путь», схему воды в бассейне.

Шаг второй: собрать модель и решить её

Модель — это компактное представление задачи: уравнение, система, таблица или схема. Выбирай модель по типу задачи, а не по вдохновению: движение — таблица со строками «скорость, время, путь», работа — производительности участников, которые в сумме дают общую, смеси и сплавы — таблица «масса раствора и масса вещества в нём», геометрия — рисунок в масштабе. Дальше правило одного неизвестного: обозначай буквой то, что спрашивают, и выражай остальное через неё. Уравнение собралось — реши его аккуратно, затем вернись к вопросу: просили именно то, что ты нашёл?

Шаг третий: проверка, которая занимает минуту

Самая надёжная проверка — обратная подстановка: подставь ответ в условие и проверь каждую связь из текста, а не только уравнение. Решил задачу на скорость — сложи времена, просуммируй пути: получилось ли то число, которое было в условии. Дальше прикидка: округли числа, посчитай в уме, сравни порядок. И проверка формы ответа: просили целое число или наименьшее значение, а у тебя вышло полтора и их три — это сигнал, что не дочитали вопрос. С задачами на уравнения дружат свойства корней: проверь их по Виету, прежде чем переносить ответ в бланк.

Пара слов о выборе неизвестного, потому что здесь начинающие часто буксуют. Обозначай за букву то, о чём спрашивают, — это правило по умолчанию, и оно работает в задачах на цену, возраст и проценты. Но в задачах на движение и работу бывает удобнее ввести время или производительность: тогда искомое получится из найденного в конце одним действием. Если уравнение «не собирается» три минуты подряд, не пинай себя — просто поменяй букву: смена неизвестного превращает страшную задачу в стандартную.

Модель задачи#

Короткое математическое описание условия: уравнение, система или таблица вместо длинного текста

Обратная подстановка#

Проверка ответа: подставить найденное число обратно в условие и сверить все связи

Прикидка#

Грубая оценка ответа на округлённых числах, чтобы поймать ошибку в 10 или 100 раз

Производительность#

Скорость работы: какую долю дела участник делает за единицу времени

Краткая запись#

Сжатая форма условия: числа с единицами и вопрос задачи

Приёмы разных типов задач удобнее собирать в память по карточкам: в них «лицевая сторона» — тип задачи, «обратная» — приём. Ниже стартовый набор, который покрывает большую часть школьных текстовых задач.

Первый шаг — на ближайшей домашке: возьми одну текстовую задачу и прогони её по трём шагам из гайда, записывая не только решение, но и вопросы к условию. Дальше тренируй типы по разборам: движение и прогрессии в ОГЭ — задание на текстовую задачу /oge/matematika/zadanie-21-oge-m21-tekstovaya-zadacha/, по профильному ЕГЭ — первая задача /ege/matematika-profil/zadanie-1-prosteyshie-tekstovye-zadachi/ и практическая экономика /ege/matematika-profil/zadanie-8-tekstovye-zadachi-ege-prakticheskie/. Уравнения, на которых стоят эти задачи, повтори по урокам /algebra/7-klass/linejnye-uravneniya/ и /algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya/, а для проверки корней пригодится калькулятор квадратных уравнений /calc/kvadratnoe-uravnenie/. Когда типовые задачи станут скучными — это признак, что методика работает: двигайся к плану подготовки на экзамен по гайду /guides/kak-podgotovitsya-k-ege-po-matematike/.