Итоговая контрольная: Вероятность и статистика, 11 класс
Вопросы собраны из всех тем учебного года — как на настоящей контрольной. Пройдите её, чтобы понять, какие темы уже держатся уверенно, а какие стоит повторить перед следующим классом. Ниже — примеры заданий с разбором и ответы на частые вопросы.
Контрольная работа
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Серия из 10 испытаний, вероятность успеха 0,3. Какие утверждения верны?
2 Три выстрела, вероятность попадания 0,6. Чему равна вероятность P(X = 3)?
3 Рост юношей распределён нормально: среднее 172 см, сигма 8 см. Какая доля юношей лежит в интервале от 164 до 180 см?
4 Случайная величина X — число орлов при двух бросках монеты. Чему равна вероятность значения X = 1?
5 Какие утверждения о законе распределения верны?
6 Какие утверждения о правиле сигм верны?
7 Число аистов в стране и рождаемость связаны с r около 0,6. Что правильнее сказать об этой связи?
8 Набор A: 4, 5, 6. Набор B: 0, 5, 10. Средние обоих равны 5. У какого набора дисперсия больше?
9 Кубик бросают до первой шестёрки. Чему равна вероятность того, что первая шестёрка выпадет именно со второго броска?
Примеры заданий с разбором
Первые вопросы контрольной — с полным объяснением. В самой работе вопросы покрывают все темы года.
Вопрос 1. Серия из 10 испытаний, вероятность успеха 0,3. Какие утверждения верны?
Разбор. E(X) = np = 10·0,3 = 3; D(X) = np(1−p) = 10·0,3·0,7 = 2,1; сумма всех вероятностей распределения всегда равна 1. Наибольшее вероятное k даёт (n+1)p = 3,3 — целая часть 3, а не 4.
Ответ: 0,1,3
Вопрос 2. Три выстрела, вероятность попадания 0,6. Чему равна вероятность P(X = 3)?
Разбор. P(3) = C(3,3) · 0,6^3 · 0,4^0 = 1 · 0,216 · 1 = 0,216: раскладка одна, и это все три выстрела точные.
Ответ: 0,216
Вопрос 3. Рост юношей распределён нормально: среднее 172 см, сигма 8 см. Какая доля юношей лежит в интервале от 164 до 180 см?
Разбор. Границы 164 и 180 — это μ − σ и μ + σ: 172 − 8 = 164, 172 + 8 = 180. Внутри одной сигмы у нормального распределения лежит около 68 процентов данных.
Ответ: около 68 процентов
Вопрос 4. Случайная величина X — число орлов при двух бросках монеты. Чему равна вероятность значения X = 1?
Разбор. Из четырёх равновероятных исходов ОО, ОР, РО, РР ровно одного орла дают ОР и РО: 2 из 4, то есть 0,5.
Ответ: 0,5
Вопрос 5. Какие утверждения о законе распределения верны?
Разбор. Шансы покрывают всё от и до, и каждое слагаемое — доля целого. Равновероятность — частный случай вроде кубика, а ожидание 3,5 у кубика не совпадает ни с одной гранью.
Ответ: 0,1
Вопрос 6. Какие утверждения о правиле сигм верны?
Разбор. Верно про 95 процентов в двух сигмах, про единицы сигмы и про совпадение среднего с медианой у симметричного колокола. 100 процентов не бывает: хвосты бесконечны, вне трёх сигм остаётся 0,3 процента.
Ответ: 0,1,3
Что входит в контрольную: темы года
Все 6 тем программы 11 класса по вероятности и статистике — из них собираются вопросы. Кликните тему, чтобы повторить теорию: под названием — короткая аннотация, о чём она.
- Случайные величины и их распределения — Дискретная случайная величина и её закон распределения: таблица с проверкой на единицу, функция распределения ступеньками, ожидание E(X), линейность и вопрос «выгодно ли играть». На школьной ярмарке два аттракциона со ставкой 100 рублей. У первого зачётный приз 5000 рублей, но вы…
- Дисперсия и стандартное отклонение — Разброс данных одним числом: выборочная дисперсия как средний квадрат отклонения, D(X) = E((X − E(X))²) для дискретных величин, σ = √D и единицы измерения, свойства D(aX + b) = a²·D(X), правило двух сигм, риск и стабильность в задачах. Перед летним сезоном владелец проката сравни…
- Испытания Бернулли и биномиальное распределение — Серия одинаковых испытаний под микроскопом: формула P(X=k), таблица биномиального распределения, самое вероятное число успехов, ожидание np и дисперсия np(1−p) с проверкой на примере. Стрелок выходит на линию и делает три выстрела по мишени. Какова вероятность ровно двух попадани…
- Геометрическое распределение: сколько ждать первого успеха — Повторяем опыт до первого успеха: величина X — номер удачной попытки, P(X = k) = q^(k−1)·p, сумма ряда равна 1, ожидание E(X) = 1/p, дисперсия (1−p)/p², парадокс забывчивости и отличия от биномиального распределения. Кубик падает шестёркой в среднем один раз из шести бросков, но …
- Нормальное распределение: правило сигм — Нормальное распределение с двумя параметрами μ и σ: почему колокол встречается везде, правило 68-95-99,7 на примере роста, обратные задачи об интервалах, стандартизация z и сравнение баллов разных тестов, ловушки перекошенных данных. Измерь рост у тысячи призывников, взвесь тысяч…
- Корреляция и причинность: как связаны две величины — Связь двух величин одной цифрой: диаграмма рассеяния, ковариация и коэффициент корреляции r от −1 до 1, шкала силы по модулю. Знаменитые ложные корреляции — мороженое и утопления, аисты, Николя Кейдж; три причины, почему корреляция не доказывает причинность; выбросы, малые выборк…