Случайные величины и их распределения

На школьной ярмарке два аттракциона со ставкой 100 рублей. У первого зачётный приз 5000 рублей, но выпадает он с шансом 0,01. У второго приз скромнее, 260 рублей, зато шанс успеха — половина. Реклама расхваливает первый: джекпот в пятьдесят ставок! Но интуиция здесь плохой советчик, а арифметика отвечает точно: у каждой игры есть средний итог по длинной серии, и у этой пары он разный по знаку. В восьмом классе ты уже считал ожидание выигрыша по готовому списку призов. Теперь соберём полный язык для таких задач: случайная величина, её закон распределения, функция распределения и свойства математического ожидания. С этим набором вопрос «выгодно ли играть» превращается из спора в вычисление.

Случайная величина: число, которое выдаёт опыт

Опыт редко кончается просто «получилось — не получилось»: часто в конце стоит число. Бросили кубик — число очков; сыграли матч — разница забитых и пропущенных; приняли звонки за час — их количество. Случайная величина — это число, которое появляется в результате опыта и зависит от случая: до опыта оно неизвестно, после опыта видно конкретное значение. Обозначают величины большими латинскими буквами X, Y, Z, а возможные значения — маленькими буквами с индексами. Величину называют дискретной, если все значения можно выписать списком: очки кубика от 1 до 6, число орлов при двух бросках — 0, 1 или 2. Список значений — лишь половина описания: полная карточка величины включает ещё и шанс каждого значения, ведь величины «кубик» и «кубик, который почти всегда даёт шестёрку» имеют одинаковые значения и совершенно разные характеры.

Закон распределения: вся случайность в одной таблице

Разберём величину X — число орлов при двух бросках монеты. Возможные исходы: ОО, ОР, РО и РР, все равновероятны. Два орла даёт только ОО, значит P(X = 2) = 1/4. Ни одного орла — только РР, значит P(X = 0) = 1/4. Ровно один орёл дают ОР и РО, значит P(X = 1) = 2/4 = 1/2. Полное описание величины записывают таблицей из двух строк: в верхней — значения, в нижней — вероятности. Такая таблица называется законом распределения: это весь портрет дискретной величины, сжатый до нескольких чисел.

У любого честного закона распределения есть железное свойство: вероятности по всем значениям складываются в единицу. Проверяем: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1. Причина простая: опыт обязательно кончается одним из значений списка, третьего не дано, поэтому шансы по всем строчкам обязаны покрыть всё от и до. То же у кубика: шесть граней по 1/6 дают 6 · 1/6 = 1. Отсюда рабочий приём: получив таблицу, первым делом сложи вероятности. Сумма 0,9 или 1,1 означает опечатку или потерянную строчку — считать по такой таблице бессмысленно. Закон распределения без единицы в сумме — не закон распределения, а просто таблица с числами.

Теперь величина с деньгами. Лотерейный билет: крупный приз 1000 р выпадает с шансом 0,05, малый приз 100 р — с шансом 0,25, остальные билеты пустые. Обозначим X выигрыш билета в рублях: значения 1000, 100 и 0. Проверка суммы: 0,05 + 0,25 + 0,7 = 1 — таблица полная. Заметь: нулевое значение обязано стоять в законе распределения наравне с призами. Пустые билеты — самый частый исход, и выбрасывать их из описания нельзя, иначе все дальнейшие расчёты будут о красивой выдумке, а не о настоящей лотерее.

Функция распределения: накапливаем шанс

Таблица отвечает на вопрос «каков шанс точного значения?», но часто спрашивают иначе: каков шанс, что значение окажется меньше данного числа? Например, билет принесёт меньше 500 рублей? Для таких вопросов есть функция распределения F(x) — шанс того, что случайная величина примет значение меньше x. На пальцах: идём по числовой прямой слева направо и собираем вероятности всех значений, которые уже остались позади. Для числа орлов: F(0,5) — это шанс нуля орлов, то есть 0,25; F(1,5) собирает значения 0 и 1, то есть 0,75; F(3) — все значения сразу, то есть 1.

График функции распределения для дискретной величины — лесенка: горизонтальные ступеньки, которые поднимаются слева направо от 0 к 1 и никогда не спускаются. Каждый скачок происходит в точке значения величины, а высота скачка равна вероятности этого значения: у числа орлов в точке 1 ступенька подскакивает на 0,5. Лесенка ещё и считает полосы: шанс попасть между двумя уровнями равен разности высот. Например, шанс значения от 0,5 до 1,5 — это 0,75 − 0,25 = 0,5, ровно вероятность единицы. Пока величина дискретная, ступени крупные; у величин с густым списком значений лесенка превращается в плавный подъём, но смысл «накопленный шанс слева» остаётся тем же.

Математическое ожидание E(X): центр таблицы

Математическое ожидание E(X) — центр тяжести закона распределения. Каждое значение тянет среднее с силой своей вероятности: частые значения весят много, редкие почти ничего не добавляют. Для кубика все веса равны, и ожидание — обычное среднее граней: 21/6 = 3,5. Для числа орлов: 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1. И сразу важная деталь: ожидание не обязано совпадать ни с одним значением величины. Грани 3,5 у кубика нет, но среднее по длинной серии бросков прижимается именно к 3,5 — ожидание описывает серию, а не отдельный опыт.

Смысл ожидания лучше всего виден на большой серии. Бросим кубик 600 раз: каждая грань выпадет около ста раз, сумма очков будет около 2100, а среднее арифметическое — около 3,5, то есть около E(X). Это закон больших чисел, с которым ты встречался в девятом классе: среднее наблюдаемых значений по огромной серии сходится к ожиданию. Поэтому страховая компания, не знающая, у кого именно сломается телефон, точно знает среднюю выплату по тысячам полисов. Один опыт — лотерея в бытовом смысле, длинная серия — почти точное вычисление.

Свойства ожидания: линейность

У ожидания есть свойства, которые экономят время. Первое — линейность: если каждое значение величины умножить на a и прибавить b, ожидание умножается на a и сдвигается на b: E(aX + b) = a · E(X) + b. Кубик даёт X с ожиданием 3,5; тогда величина 2X + 10 имеет ожидание 2 · 3,5 + 10 = 17. Логично: каждое значение выросло вдвое и подросло на десять — и центр таблицы делает то же самое. Второе свойство: ожидание суммы равно сумме ожиданий, даже если величины зависимы. Для двух кубиков среднее суммы 3,5 + 3,5 = 7 — знаменитое число настольных игр, и для него не нужно строить таблицу из 36 равновероятных исходов.

Главный практический приём: итог игры — это выигрыш минус ставка, и ожидание итога равно E(X) − c, где c — цена входа. Для лотерейного билета: 75 − 200 = −125 рублей в среднем с каждого билета. Отрицательное ожидание — математическая формулировка фразы «лотерея против игрока»: организатор закладывает себе плюс, и никакой джекпот этого не меняет. Вернёмся к ярмарке. Игра с призом 5000 р и шансом 0,01 при ставке 100 р: ожидание итога 5000 · 0,01 − 100 = −50. Скромная игра с призом 260 р и шансом 0,5: 260 · 0,5 − 100 = +30. Максимальный приз больше у первой, но выгодна вторая — сравнивать игры нужно по ожиданию итога, а не по величине главного приза.

Страхование — тот же закон распределения, записанный от лица компании. Телефон за 30 000 р ломается за год с шансом 0,04. Величина «выплата по полису» принимает значение 30 000 с шансом 0,04 и значение 0 с шансом 0,96 — сумма сходится в единицу. Ожидание выплаты: 30 000 · 0,04 + 0 · 0,96 = 1200 р. Если премия 1500 р, компания в среднем зарабатывает 300 р с полиса: при тысячах полисов это стабильный плюс без всякого предсказания, у кого именно случится поломка. Клиент же платит не за средний плюс — он покупает защиту от редкого, но тяжёлого разового удара, и за такую защиту иногда разумно переплатить в среднем.

Случайная величина#

число, которое появляется в результате опыта и зависит от случая

Дискретная величина#

величина, значения которой можно перечислить списком

Закон распределения#

таблица «значения — вероятности»; сумма вероятностей равна 1

Функция распределения#

накопленный шанс F(x): вероятность того, что значение окажется меньше x

Математическое ожидание#

центр тяжести распределения: сумма произведений значений на вероятности

Линейность ожидания#

E(aX + b) = a · E(X) + b; ожидание суммы равно сумме ожиданий

Теперь у случайности есть грамматика: величина со списком значений, закон распределения с проверкой на единицу, лесенка функции распределения и центр тяжести E(X) со свойствами линейности. Любая реклама «выиграй приз» читается за минуту: составь таблицу выигрышей, проверь сумму, умножь, сложи, вычти цену входа. Дальше по курсу вокруг ожидания появится разброс — дисперсия и стандартное отклонение, которые отвечают, насколько сильно значения гуляют вокруг центра. А пока прогони тренажёр и посчитай ожидание любой игры рядом: от монетки с приятелем до призов на упаковке снеков.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема