Распределения по-простому: колокол и правило 68%
Читаем данные как картину: гистограмма, пик и хвосты, нормальный колокол и правило 68%, выбросы, из-за которых среднее уплывает, а медиана держится.
На медосмотре медсестра записала рост всех 24 девятиклассников в столбик — получился список чисел, в котором с ходу ничего не видно. Столбик можно упорядочить, посчитать среднее, но лучше сделать шаг сильнее: собрать числа в интервалы и нарисовать картину. В этой картине сразу увидятся и самые частые значения, и редкие отклонения, и общий характер класса. Так из кучи чисел рождается распределение — одна из главных идей всей статистики.
Разбиваем рост на интервалы по пять сантиметров и считаем, сколько человек попало в каждый. Договоримся: граница 160 относится к левому интервалу, то есть интервалы не перекрываются и каждый человек учтён ровно один раз. Доли получаем делением на 24 — они пригодятся для сравнения с другими классами, где людей другое количество.
| Рост, см | Человек | Доля |
|---|---|---|
| 150–155 | 2 | 2/24 ≈ 0,08 |
| 155–160 | 5 | 5/24 ≈ 0,21 |
| 160–165 | 8 | 8/24 ≈ 0,33 |
| 165–170 | 6 | 6/24 = 0,25 |
| 170–175 | 3 | 3/24 ≈ 0,13 |
Проверка: 2 + 5 + 8 + 6 + 3 = 24 — все учтены. Если нарисовать эти числа столбиками, получится ступенчатая картина с подъёмом к середине и спуском к краям. Такой рисунок называется гистограммой: высота каждого столбика показывает, сколько значений попало в интервал. Форма здесь плавная не случайно — рост складывается из многих независимых причин: наследственности, питания, режима.
Пик, симметрия и хвосты
У любой гистограммы есть пик — самый высокий столбик, здесь это 160–165 с восемью людьми. Посмотрим по бокам от пика: слева 2 + 5 = 7 человек, справа 6 + 3 = 9. Доли похожи, значит распределение почти симметричное — правая сторона почти зеркалит левую. А края, где столбики низкие и редкие значения разбредаются от центра, называют хвостами. Хвосты важны: они показывают, как далеко могут уходить отклонения и как быстро становятся редкими.
Не всякие данные симметричны. Возьмём контрольную: из 20 работ пятёрок 5, четвёрок 9, троек 5 и одна двойка. Пик смещён к четвёрке, слева тянется хвост из троек и двойки — распределение с перекосом, и это информация: класс справляется выше середины, а провалившиеся единичны. Форма столбиков рассказывает про класс не меньше, чем средняя оценка.
| Оценка | Человек | Доля |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/20 = 0,05 |
| 3 | 5 | 5/20 = 0,25 |
| 4 | 9 | 9/20 = 0,45 |
| 5 | 5 | 5/20 = 0,25 |
Нормальное распределение: колокол вокруг среднего
Если нарисовать рост многих людей плавной линией по нашим столбикам, вырисуется характерный силуэт: симметричная гора с округлым пиком в центре и пологими склонами. Такой колокол возникает удивительно часто — на росте и весе, на ошибках измерений, на размерах деталей у станка. Причина одна: итог складывается из множества мелких независимых причин, которые в среднем гасят друг друга. Этот колокол называют нормальным распределением — не потому, что другие неправильные, а потому, что он самая частая картина природы.
У колокола есть два параметра, и оба ты уже знаешь по смыслу. Центр — среднее: например, средний рост девятиклассников города 165 сантиметров. Разброс — сигма, стандартное отклонение: величина, показывающая, насколько значения гуляют вокруг среднего. И тут появляется правило, которое стоит запомнить: при нормальном распределении примерно 68 процентов значений лежит в пределах одной сигмы от среднего. Здесь это от 159 до 171 сантиметра. Расширяем до двух сигм — от 153 до 177 — и получаем примерно 95 процентов. Правило принимаем без вывода: как свойство колокола.
Средний рост 165 см, сигма 6 см. Какой примерно процент людей имеет рост от 159 до 171 см? Прикинь и проверь.
Сигма управляет шириной колокола. Если разброс маленький, сигма 3 сантиметра, гора узкая и почти все значения теснятся возле центра: 68 процентов в пределах трёх сантиметров от среднего. Если сигма 10, колокол широкий, значения разбредаются, и та же доля 68 процентов растянута на двадцать сантиметров. Сама формула сигмы в этом курсе не нужна — важно уметь читать её как масштаб разброса: больше сигма, сильнее значения гуляют вокруг центра.
При нормальном распределении примерно процентов значений лежит в пределах одной от среднего. Хвосты графика уходят к значениям. Из-за выброса сильнее всего уплывает , а надёжнее смотреть .
Банк слов
Выбросы: почему среднее уплывает
Пять друзей записали, сколько минут идут до школы: 10, 12, 11, 13 и один живёт далеко — 64 минуты. Считаем среднее: 10 + 12 + 11 + 13 + 64 = 110, делим на 5, получаем 22 минуты. Стоп: среднее получилось больше, чем у четырёх из пяти человек! Так работает выброс — значение, резко оторвавшееся от остальных. Среднее прицепляется к нему и уплывает в его сторону, переставая описывать типичную дорогу.
А теперь медиана: упорядочиваем ряд 10, 11, 12, 13, 64 и берём середину — 12 минут. Медиана спокоена: выброс стоит в конце ряда и середину не двигает. Ты считал её ещё в седьмом классе среди описательных статистик — вот и ответ, зачем она нужна на практике: когда в данных есть выбросы или перекос, медиана описывает типичное значение надёжнее среднего. Правило на всю жизнь: увидел выброс — не выбрасывай его сразу, а сначала выясни, откуда он взялся, и для типичной картины сравни среднее с медианой.
- Найди пик: самый высокий столбик — самые типичные значения.
- Оцени симметрию: сравни суммы столбиков слева и справа от пика, найди перекос.
- Проверь края: длинные хвосты и одинокие далёкие столбики — это редкие значения и возможные выбросы.
- Сделай вывод: где центр, каков разброс и стоит ли доверять среднему, если выбросы есть.
- Распределение#
- картина того, как часто встречаются значения: от редких через пик к редким
- Гистограмма#
- рисунок распределения из столбиков по интервалам
- Нормальное распределение#
- симметричный колокол, который дают рост, погрешности и другие естественные данные
- Сигма#
- мера разброса вокруг среднего; правило 68% живёт в пределах одной сигмы
- Выброс#
- значение, резко оторвавшееся от ряда: оно тянет среднее, но почти не двигает медиану
Теперь у тебя есть словарь для чтения данных: пик и хвосты, симметрия и перекос, сигма как масштаб разброса, выброс как сигнал проверить среднее. Этим словарём написаны график роста в детском кабинете врача, контрольные карты на заводе и ошибки лабораторных приборов. Встречая колокол, ты будешь знать его секреты: 68 процентов прячутся внутри сигмы, а верную середину при выбросах хранит медиана.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Рост распределён нормально: среднее 165 см, сигма 6 см. В каком интервале лежит примерно 68% значений?
2 Какие утверждения о колоколе верны?
3 Время в пути в минутах: 10, 12, 11, 13, 64. Найди медиану серии.
4 Один выброс может сдвинуть среднее сильнее, чем медиану.
5 Расставь интервалы роста по возрастанию доли.
6 Соедини термин с его смыслом.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи данные по формам: что похоже на колокол, а что нет.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Правило 68% всегда даёт ровно 68?
Нет, оно говорит о том, сколько значений лежит в пределах одной сигмы у идеального колокола. Реальные данные лишь похожи на колокол, поэтому на практике выходит около 68 — например, 65 или 71.
Почему при выбросе медиана надёжнее среднего?
Среднее входит в выброс как слагаемое суммы и уплывает вслед за ним, а медиана смотрит только на порядок значений: какой бы огромной ни была крайняя цифра, середина ряда не двигается.
Что такое хвосты распределения?
Это края гистограммы, где столбики низкие: редкие значения, которые удаляются от пика. Хвост показывает, как быстро становятся редкими отклонения — у колокола оба хвоста пологие и симметричные.
Любые ли данные похожи на колокол?
Нет. Оценки за лёгкий тест сгрудятся у пятёрки с перекосом, цифры номера телефона равноправны, а доходы часто имеют длинный правый хвост. Колокол — самая частая, но не единственная форма.