Условная вероятность: шанс при известном условии
Учимся считать шанс, когда часть информации уже известна: таблица 2×2, доля строки, формула через пересечение событий и шары без возвращения.
В поликлинике подводят итоги профосмотра: обследовали 300 человек и каждому записали два ответа — курит или нет, нашли ли болезнь. Ты помогаешь оформить стенд для класса, и первое, что бросается в глаза: данные собраны в аккуратную сетку два на два. И тут возникает неудобный вопрос. Средний шанс болезни по всем трёмстам — один, а если про человека известно, что он курит, — совсем другой. Именно такие задачи решает условная вероятность: умение пересчитать шанс, когда уже что-то известно.
Сетка устроена просто: по строкам — курильщики и некурильщики, по столбцам — у кого болезнь нашли и у кого нет. На пересечении каждой строки и столбца стоит число людей. Такая картинка называется таблицей два на два: два признака, у каждого по два значения. Внизу и справа приписывают суммы, чтобы видеть итоги по каждому признаку.
| Болезнь нашли | Болезни нет | Всего | |
|---|---|---|---|
| Курильщики | 30 | 70 | 100 |
| Некурильщики | 20 | 180 | 200 |
| Всего | 50 | 250 | 300 |
Прежде чем считать вероятности, проверим, что таблица честная. По строке курильщиков: 30 + 70 = 100. По строке некурильщиков: 20 + 180 = 200. По столбцу больных: 30 + 20 = 50. По столбцу здоровых: 70 + 180 = 250. Общий итог: 100 + 200 = 300 и 50 + 250 = 300 — обе проверки сошлись. Такой пересчёт занимает полминуты, а от ошибок в доле спасает лучше любой проверки в уме.
Шанс меняется, когда уже что-то известно
Возьмём человека наугад из всех трёхсот. Болезнь нашли у 50, значит шанс болезни равен 50/300 = 1/6 — примерно 0,17. Теперь новая вводная: известно, что выбранный человек курит. Слова «известно, что» — это команда пересчитать всё заново. Наш выбор теперь происходит не из трёхсот, а из ста курильщиков, и болезнь есть у 30 из них: шанс 30/100 = 0,3. Для некурильщика то же самое делается по второй строке: 20/200 = 0,1. Один и тот же вопрос про болезнь — три разных ответа, потому что каждый раз меняется круг, из которого выбираем.
Записывается это так: P(болезнь | курильщик) = 0,3. Вертикальная черта читается как «при условии, что»: слева событие, о котором спрашиваем, справа — то, что уже известно. Восьмиклассников учат ловить в задачах слова «второй», «потом», «если первый оказался…» — все они про условную вероятность: шанс второго шага считается уже с учётом первого. Здесь та же идея, только условием может быть что угодно, а не только первый шаг опыта.
Формула через пересечение событий
Условную вероятность можно получить и без таблицы, если известны две вероятности. Когда мы говорим «при условии B», событие B становится новой вселенной: все исходы, где B не случилось, выбрасываются из рассмотрения. Остаются только те, где произошло и B, и одновременно A. Поэтому в числителе — вероятность того, что случились оба события сразу, а в знаменателе — вероятность самого условия.
Проверим формулу на нашей таблице. Событие «болезнь и курильщик» — это левый верхний угол: 30 человек из 300, то есть 30/300 = 1/10. Условие «курильщик»: 100 из 300, то есть 1/3. Делим: (1/10) : (1/3) = 3/10 = 0,3 — ровно то, что мы получили по доле строки. Формула и таблица — два пути к одному числу, но по таблице обычно быстрее: там доля уже разложена по строкам.
- Найди в таблице строку или столбец, которые задаёт условие: «курильщик» — это строка из 100 человек.
- Эта строка теперь играет роль всех исходов: считаешь долю внутри неё, а не внутри всей таблицы.
- Делишь число благоприятных на размер строки: 30 из 100 даёт 0,3.
- Сверь ответ со здравым смыслом: условная вероятность лежит от 0 до 1 и не может выходить за эти границы.
Без возвращения: остаток как условие
Классическая ситуация для условной вероятности — выбор без возвращения. В урне 5 красных и 3 синих шара, все на ощупь одинаковые. Вытащили один шар — он красный, и обратно его не положили. Каков шанс, что второй шар тоже красный? Считаем остаток: красных было 5, один ушел, осталось 4; всего было 8 шаров, осталось 7. Значит шанс второго красного равен 4/7.
Это чистая условная вероятность: P(второй красный | первый красный) = 4/7. А если бы первый шар вернули в урну, условие не изменило бы ничего — снова 5 красных из 8, то есть 5/8. Разница между 4/7 и 5/8 и есть цена информации: знание о первом шаге перекроило круг исходов. В дереве вероятностей из восьмого класса ты уже считал такие задачи: вторая ветка каждого дерева как раз записана с учётом первой, а вдоль пути вероятности перемножаются.
Из 300 обследованных 100 курят, и болезнь нашли у 30 из них. Какой процент курильщиков больны? Прикинь и проверь.
Вернёмся к стенду и доделаем таблицу: для каждого круга людей посчитаем, как внутри него распределяется болезнь. Такие доли по строкам называют ещё условными частотами — это та же условная вероятность, только посчитанная по реальным данным.
| Группа | Доля больных внутри группы | Доля здоровых внутри группы |
|---|---|---|
| Курильщики (100 человек) | 30/100 = 0,3 | 70/100 = 0,7 |
| Некурильщики (200 человек) | 20/200 = 0,1 | 180/200 = 0,9 |
| Все обследованные (300) | 50/300 = 1/6 ≈ 0,17 | 250/300 = 5/6 ≈ 0,83 |
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Условная вероятность P(A|B) — это доля события A внутри события . Когда условие уже сбылось, круг всех исходов сужается, и знаменатель становится . В урне 5 красных и 3 синих шара: после того как вынули красный и не вернули, шанс второго красного равен .
Банк слов
- Условная вероятность#
- шанс события при известном условии: P(A|B) читается «вероятность A при условии B»
- Условие#
- то, что уже известно и сузило круг исходов: «первый шар красный», «человек курит»
- Пересечение A и B#
- событие «случились и A, и B»; его вероятность стоит в числителе формулы
- Таблица 2×2#
- сетка два признака по два значения с итогами; условная вероятность — доля строки
- Без возвращения#
- вынутый объект не кладут обратно, и второй шаг считается по остатку
Условная вероятность — рабочий инструмент за пределами школьной тетради: по ней врач решает, какой анализ назначить после результата теста, почтовый фильтр оценивает шанс спама при слове «выигрыш», синоптик называет шанс дождя при южном ветре. Ты уже умеешь главное: увидеть условие, сузить круг исходов и честно поделить. Дальше по курсу этот приём будет появляться постоянно — от деревьев с неравными ветками до формулы полной вероятности.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Из 300 обследованных человек 100 курят. Если известно, что выбранный человек — курильщик, какое множество теперь играет роль всех исходов?
2 Какие утверждения про условную вероятность верны?
3 Среди 200 некурильщиков болезнь не нашли у 180. Сколько процентов некурильщиков здоровы?
4 Доля заболевших среди курильщиков равна доле курильщиков среди заболевших.
5 Расставь величины по возрастанию.
6 Соедини вопрос с ответом по таблице: 100 курильщиков (30 больных), 200 некурильщиков (20 больных).
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи вопросы по типам вероятности.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем условная вероятность отличается от обычной?
Обычная вероятность считает долю среди всех исходов опыта, а условная — только среди тех, где уже случилось известное условие. Условие всегда уменьшает знаменатель, поэтому ответ обычно другой.
Может ли условная вероятность быть больше единицы?
Нет. Это доля части внутри целого: благоприятных исходов внутри условия не может быть больше, чем самих исходов условия. Если вышло больше единицы, перепутан знаменатель.
Почему P(A|B) и P(B|A) — разные числа?
Потому что доли считаются внутри разных кругов: P(A|B) — внутри тех, у кого сбылось B, а P(B|A) — внутри тех, у кого сбылось A. В таблице 2×2 это доли из разных строк, как 0,3 и 0,6.
Зачем условная вероятность при вынимании шаров без возвращения?
Каждое вынимание без возврата меняет состав урны, и второй шаг зависит от первого. Фраза «первый шар оказался красным» — это условие, после которого доля считается по остатку.