Степень с целым показателем и стандартный вид числа — тренажёр

Пример 1. Вычисли 6⁻¹ · 6³.

Подсказка. При умножении степеней показатели складываются.

Как решать. Основания одинаковые — складываем показатели: −1 + 3 = 2. Ответ: 6² = 6·6.

Ответ: 36

Пример 2. Вычисли (2⁻²)² : 2⁻⁶.

Подсказка. Сначала раскрой квадрат степени, потом вычитай показатели.

Как решать. Степень степени: (2⁻²)² = 2⁻⁴. Деление: 2⁻⁴ : 2⁻⁶ = 2². Ответ: 2·2.

Ответ: 4

Пример 3. Запиши число $6\cdot 10^5$ в виде натурального числа. В ответ запиши само число.

Подсказка. Припиши к 6 столько нулей, каков порядок.

Как решать. Порядок 5 положительный — запятая уезжает на 5 разрядов вправо: к цифре 6 приписывается 5 нулей.

Ответ: 600000

Пример 4. Во сколько раз число $6\cdot 10^7$ больше числа $6\cdot 10^1$? В ответ запиши число.

Подсказка. Разность порядков — степень десятки.

Как решать. Мантиссы равны, поэтому решает разность порядков: $10^7:10^1=10^{7-1}$. Показатель — разность 7 − 1, столько нулей стоит после единицы.

Ответ: 1000000

Пример 5. Вычисли 2⁻¹ · 2³.

Подсказка. При умножении степеней показатели складываются.

Как решать. Основания одинаковые — складываем показатели: −1 + 3 = 2. Ответ: 2² = 2·2.

Ответ: 4

Пример 6. Вычисли (6⁻²)² : 6⁻⁶.

Подсказка. Сначала раскрой квадрат степени, потом вычитай показатели.

Как решать. Степень степени: (6⁻²)² = 6⁻⁴. Деление: 6⁻⁴ : 6⁻⁶ = 6². Ответ: 6·6.

Ответ: 36

Пример 7. Запиши число $3\cdot 10^3$ в виде натурального числа. В ответ запиши само число.

Подсказка. Припиши к 3 столько нулей, каков порядок.

Как решать. Порядок 3 положительный — запятая уезжает на 3 разрядов вправо: к цифре 3 приписывается 3 нулей.

Ответ: 3000

Пример 8. Во сколько раз число $6\cdot 10^6$ больше числа $6\cdot 10^1$? В ответ запиши число.

Подсказка. Разность порядков — степень десятки.

Как решать. Мантиссы равны, поэтому решает разность порядков: $10^6:10^1=10^{6-1}$. Показатель — разность 6 − 1, столько нулей стоит после единицы.

Ответ: 100000

Пример 9. Вычисли 5⁻¹ · 5³.

Подсказка. При умножении степеней показатели складываются.

Как решать. Основания одинаковые — складываем показатели: −1 + 3 = 2. Ответ: 5² = 5·5.

Ответ: 25

Пример 10. Вычисли (4⁻²)² : 4⁻⁶.

Подсказка. Сначала раскрой квадрат степени, потом вычитай показатели.

Как решать. Степень степени: (4⁻²)² = 4⁻⁴. Деление: 4⁻⁴ : 4⁻⁶ = 4². Ответ: 4·4.

Ответ: 16

Пример 11. Во сколько раз число $6\cdot 10^5$ больше числа $6\cdot 10^2$? В ответ запиши число.

Подсказка. Разность порядков — степень десятки.

Как решать. Мантиссы равны, поэтому решает разность порядков: $10^5:10^2=10^{5-2}$. Показатель — разность 5 − 2, столько нулей стоит после единицы.

Ответ: 1000

Пример 12. Вычисли 7⁻¹ · 7³.

Подсказка. При умножении степеней показатели складываются.

Как решать. Основания одинаковые — складываем показатели: −1 + 3 = 2. Ответ: 7² = 7·7.

Ответ: 49

Пример 13. Запиши число $8\cdot 10^7$ в виде натурального числа. В ответ запиши само число.

Подсказка. Припиши к 8 столько нулей, каков порядок.

Как решать. Порядок 7 положительный — запятая уезжает на 7 разрядов вправо: к цифре 8 приписывается 7 нулей.

Ответ: 80000000

Пример 14. Во сколько раз число $6\cdot 10^3$ больше числа $6\cdot 10^2$? В ответ запиши число.

Подсказка. Разность порядков — степень десятки.

Как решать. Мантиссы равны, поэтому решает разность порядков: $10^3:10^2=10^{3-2}$. Показатель — разность 3 − 2, столько нулей стоит после единицы.

Ответ: 10

Пример 15. Вычисли (7⁻²)² : 7⁻⁶.

Подсказка. Сначала раскрой квадрат степени, потом вычитай показатели.

Как решать. Степень степени: (7⁻²)² = 7⁻⁴. Деление: 7⁻⁴ : 7⁻⁶ = 7². Ответ: 7·7.

Ответ: 49

Пример 16. Запиши число $2\cdot 10^7$ в виде натурального числа. В ответ запиши само число.

Подсказка. Припиши к 2 столько нулей, каков порядок.

Как решать. Порядок 7 положительный — запятая уезжает на 7 разрядов вправо: к цифре 2 приписывается 7 нулей.

Ответ: 20000000

Пример 17. Во сколько раз число $6\cdot 10^6$ больше числа $6\cdot 10^2$? В ответ запиши число.

Подсказка. Разность порядков — степень десятки.

Как решать. Мантиссы равны, поэтому решает разность порядков: $10^6:10^2=10^{6-2}$. Показатель — разность 6 − 2, столько нулей стоит после единицы.

Ответ: 10000

Вопрос 1. Вычисли 2⁻³ и запиши ответ десятичной дробью.

Ответ: 0.125

Пояснение. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Минус в показателе переворачивает степень, а не меняет знак числа.

Вопрос 2. Чему равно $3^{-2}$?

Ответ: $\frac{1}{9}$

Пояснение. Минус в показателе — переворот: 3⁻² = 1/3² = 1/9. Основание остаётся положительным, минуса в ответе нет.

Вопрос 3. Для любого числа a верно равенство a⁰ = 1.

Ответ: Неверно

Пояснение. Ноль исключён: 0⁰ не определено, ведь определение связано с делением степени на саму себя. Верно a⁰ = 1 при a ≠ 0.

Вопрос 4. Какие равенства верны?

Ответ: 2⁻² = 0,25; (2/3)⁻¹ = 3/2

Пояснение. 2⁻² = 1/4 = 0,25 — верно; переворот дроби верен. А 10⁻³ = 0,001 и 5⁻² = 1/25: минус в показателе никогда не делает число отрицательным.

Вопрос 5. Расставь числа по возрастанию.

Ответ: 3⁻² → 2⁻³ → 2⁻¹ → 2⁰

Пояснение. 3⁻² = 1/9 ≈ 0,11; 2⁻³ = 0,125; 2⁻¹ = 0,5; 2⁰ = 1. Получается: 3⁻², 2⁻³, 2⁻¹, 2⁰.

Вопрос 6. Сопоставь величину и её стандартную запись.

Пояснение. Порядок показывает масштаб величины: −31 у электрона, +5 у расстояния до Луны, +8 у скорости света.

Вопрос 7. Во сколько раз число $6\cdot 10^8$ больше числа $3\cdot 10^4$?

Ответ: 20000

Пояснение. Делим: мантиссы 6 : 3 = 2, порядки 8 − 4 = 4, итого 2·10⁴ = 20 000. Мантиссы делятся, порядки вычитаются.