Метод интервалов — тренажёр

Пример 1. Реши неравенство (x − 4)(x + 2) ≤ 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Решение — отрезок между корнями, обе границы включены.

Как решать. Корни 4 и −2, произведение не больше нуля между ними: −2 ≤ x ≤ 4; наибольшее целое решение равно 4.

Ответ: 4

Пример 2. Сколько целых чисел входит в решение неравенства (x + 1)(x − 1) ≤ 0?

Подсказка. Считай числа от −1 до 1 включительно.

Как решать. Решение — отрезок от −1 до 1: по 1 отрицательных и положительных чисел плюс ноль, всего 2·1 + 1.

Ответ: 3

Пример 3. Неравенство (x − 3)(x − 8) < 0, где 3 < 8. Запиши количество целых решений.

Подсказка. Границы-корни целыми быть могут, но в строгий промежуток не входят.

Как решать. Решение — строгий промежуток между корнями: 3 < x < 8; внутри лежит 8 − 3 − 1 целых чисел.

Ответ: 4

Пример 4. Какое множество является решением неравенства (x − 4)²(x − 7) ≥ 0, если 4 < 7?

Подсказка. Квадрат обращается в ноль только в одной точке.

Как решать. Квадрат скобки не меняет знак, поэтому знак задаёт множитель x − 7: решение — луч правее 7, плюс отдельная точка 4, где всё произведение равно нулю.

Ответ: x = 4 и x ≥ 7

Пример 5. В неравенстве (x + 5)(x − 5) ≥ 0 точка x = −5 входит в ответ.

Подсказка. Строгое или нестрогое здесь неравенство?

Как решать. Неравенство нестрогое, а при x = −5 произведение равно нулю, и ноль удовлетворяет условию «больше или равно ноль». Поэтому граница −5 входит в ответ.

Ответ: Верно

Пример 6. Реши неравенство (x − 1)(x + 5) ≤ 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Решение — отрезок между корнями, обе границы включены.

Как решать. Корни 1 и −5, произведение не больше нуля между ними: −5 ≤ x ≤ 1; наибольшее целое решение равно 1.

Ответ: 1

Пример 7. Сколько целых чисел входит в решение неравенства (x + 4)(x − 4) ≤ 0?

Подсказка. Считай числа от −4 до 4 включительно.

Как решать. Решение — отрезок от −4 до 4: по 4 отрицательных и положительных чисел плюс ноль, всего 2·4 + 1.

Ответ: 9

Пример 8. Неравенство (x − 1)(x − 6) < 0, где 1 < 6. Запиши количество целых решений.

Подсказка. Границы-корни целыми быть могут, но в строгий промежуток не входят.

Как решать. Решение — строгий промежуток между корнями: 1 < x < 6; внутри лежит 6 − 1 − 1 целых чисел.

Ответ: 4

Пример 9. Какое множество является решением неравенства (x − 3)²(x − 6) ≥ 0, если 3 < 6?

Подсказка. Квадрат обращается в ноль только в одной точке.

Как решать. Квадрат скобки не меняет знак, поэтому знак задаёт множитель x − 6: решение — луч правее 6, плюс отдельная точка 3, где всё произведение равно нулю.

Ответ: x = 3 и x ≥ 6

Пример 10. В неравенстве (x + 2)(x − 2) ≥ 0 точка x = −2 входит в ответ.

Подсказка. Строгое или нестрогое здесь неравенство?

Как решать. Неравенство нестрогое, а при x = −2 произведение равно нулю, и ноль удовлетворяет условию «больше или равно ноль». Поэтому граница −2 входит в ответ.

Ответ: Верно

Пример 11. Реши неравенство (x − 3)(x + 5) ≤ 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Решение — отрезок между корнями, обе границы включены.

Как решать. Корни 3 и −5, произведение не больше нуля между ними: −5 ≤ x ≤ 3; наибольшее целое решение равно 3.

Ответ: 3

Пример 12. Сколько целых чисел входит в решение неравенства (x + 3)(x − 3) ≤ 0?

Подсказка. Считай числа от −3 до 3 включительно.

Как решать. Решение — отрезок от −3 до 3: по 3 отрицательных и положительных чисел плюс ноль, всего 2·3 + 1.

Ответ: 7

Пример 13. Какое множество является решением неравенства (x − 2)²(x − 10) ≥ 0, если 2 < 10?

Подсказка. Квадрат обращается в ноль только в одной точке.

Как решать. Квадрат скобки не меняет знак, поэтому знак задаёт множитель x − 10: решение — луч правее 10, плюс отдельная точка 2, где всё произведение равно нулю.

Ответ: x = 2 и x ≥ 10

Пример 14. В неравенстве (x + 1)(x − 1) ≥ 0 точка x = −1 входит в ответ.

Подсказка. Строгое или нестрогое здесь неравенство?

Как решать. Неравенство нестрогое, а при x = −1 произведение равно нулю, и ноль удовлетворяет условию «больше или равно ноль». Поэтому граница −1 входит в ответ.

Ответ: Верно

Пример 15. Реши неравенство (x − 5)(x + 2) ≤ 0 и запиши его наибольшее целое решение.

Подсказка. Решение — отрезок между корнями, обе границы включены.

Как решать. Корни 5 и −2, произведение не больше нуля между ними: −2 ≤ x ≤ 5; наибольшее целое решение равно 5.

Ответ: 5

Пример 16. Сколько целых чисел входит в решение неравенства (x + 5)(x − 5) ≤ 0?

Подсказка. Считай числа от −5 до 5 включительно.

Как решать. Решение — отрезок от −5 до 5: по 5 отрицательных и положительных чисел плюс ноль, всего 2·5 + 1.

Ответ: 11

Пример 17. Неравенство (x − 4)(x − 10) < 0, где 4 < 10. Запиши количество целых решений.

Подсказка. Границы-корни целыми быть могут, но в строгий промежуток не входят.

Как решать. Решение — строгий промежуток между корнями: 4 < x < 10; внутри лежит 10 − 4 − 1 целых чисел.

Ответ: 5

Пример 18. Какое множество является решением неравенства (x − 1)²(x − 10) ≥ 0, если 1 < 10?

Подсказка. Квадрат обращается в ноль только в одной точке.

Как решать. Квадрат скобки не меняет знак, поэтому знак задаёт множитель x − 10: решение — луч правее 10, плюс отдельная точка 1, где всё произведение равно нулю.

Ответ: x = 1 и x ≥ 10

Пример 19. В неравенстве (x + 6)(x − 6) ≥ 0 точка x = −6 входит в ответ.

Подсказка. Строгое или нестрогое здесь неравенство?

Как решать. Неравенство нестрогое, а при x = −6 произведение равно нулю, и ноль удовлетворяет условию «больше или равно ноль». Поэтому граница −6 входит в ответ.

Ответ: Верно

Пример 20. Неравенство (x − 1)(x − 10) < 0, где 1 < 10. Запиши количество целых решений.

Подсказка. Границы-корни целыми быть могут, но в строгий промежуток не входят.

Как решать. Решение — строгий промежуток между корнями: 1 < x < 10; внутри лежит 10 − 1 − 1 целых чисел.

Ответ: 8

Пример 21. Какое множество является решением неравенства (x − 3)²(x − 9) ≥ 0, если 3 < 9?

Подсказка. Квадрат обращается в ноль только в одной точке.

Как решать. Квадрат скобки не меняет знак, поэтому знак задаёт множитель x − 9: решение — луч правее 9, плюс отдельная точка 3, где всё произведение равно нулю.

Ответ: x = 3 и x ≥ 9

Пример 22. В неравенстве (x + 4)(x − 4) ≥ 0 точка x = −4 входит в ответ.

Подсказка. Строгое или нестрогое здесь неравенство?

Как решать. Неравенство нестрогое, а при x = −4 произведение равно нулю, и ноль удовлетворяет условию «больше или равно ноль». Поэтому граница −4 входит в ответ.

Ответ: Верно

Вопрос 1. На сколько промежутков разбивают числовую прямую три различных корня многочлена?

Ответ: 4

Пояснение. Три точки делят прямую на четыре части: два луча по краям и два промежутка между корнями.

Вопрос 2. Какое множество является решением неравенства (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0?

Ответ: 1 < x < 2 или x > 3

Пояснение. Знаки промежутков: минус, плюс, минус, плюс. Плюс — на промежутке от 1 до 2 и правее 3.

Вопрос 3. При переходе через корень чётной кратности знак многочлена меняется.

Ответ: Неверно

Пояснение. При чётной кратности знак сохраняется, потому что скобка в чётной степени неотрицательна. Меняется он только при нечётной кратности.

Вопрос 4. Запиши наибольшее целое решение неравенства (x + 2)(x − 4) ≤ 0.

Ответ: 4

Пояснение. Произведение не больше нуля между корнями: −2 ≤ x ≤ 4; наибольшее целое здесь 4.

Вопрос 5. Что происходит со знаком произведения при переходе через простой корень кратности 1?

Ответ: меняется на противоположный

Пояснение. Скобка первой степени меняет знак в своём корне, поэтому и всё произведение меняет знак.

Вопрос 6. Сопоставь выражение и его знак.

Пояснение. Скобка x − a положительна правее a и отрицательна левее, а её квадрат положителен всюду, кроме самого a.

Вопрос 7. Метод интервалов применим только к квадратным неравенствам.

Ответ: Неверно

Пояснение. Он работает для любого неравенства, где слева произведение или дробь, а справа ноль: и для кубов, и для кратных корней.

Вопрос 8. Разложи множители по поведению знака.

Пояснение. Нечётная кратность меняет знак (первая, третья степень), чётная — сохраняет: переход через корень с чётной кратностью знак не трогает.