Неравенства с одной переменной

Ты подрабатываешь курьером по выходным: смена приносит 300 рублей, плюс 50 рублей за каждый доставленный заказ. В месяце выходит 10 смен, и цель — заработать не меньше 7000 рублей. Если брать в среднем x заказов за смену, выходит неравенство 3000 + 500x ≥ 7000. Это неравенство с одной переменной: буква одна, а ответ — не одно число, а целая полоса значений. Переносим 3000 вправо: 500x ≥ 4000, делим на 500 и получаем x ≥ 8. Восемь заказов за смену или больше — и цель твоя.

Решение — это промежуток, а не число

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно. Обычно это промежуток: у x ≥ 8 решение — от восьми до бесконечности, записывается как $[8;+\infty )$. Правила похожи на уравнения, но с двумя отличиями. Слагаемые переносятся через знак неравенства со сменой знака — как обычно. А вот при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак переворачивается: «больше» становится «меньше». Строгие неравенства ($x>8$) границу не включают — точку на числовой прямой рисуют выколотой, а скобку в записи промежутка ставят круглую. Нестрогие ($x\ge 8$) границу включают: точка закрашена, скобка квадратная.

Линейное неравенство ax > b: три сюжета

Самый частый случай — линейное неравенство, где x стоит в первой степени: ax > b или ax < b. Решение сводится к одному-двум ходам, а развязка зависит от знака коэффициента a. В неравенстве 4x > 12 делим обе части на 4 и знак не трогаем: x > 3. В неравенстве −4x > 12 после деления на −4 знак переворачивается: x < −3. Третий случай самый коварный: при a = 0 переменная исчезает, и остаются два сюжета. Равенство 0 > 12 ложно — решений нет совсем; а 0 > −12 истинно — тогда подходит любое число.

• a > 0: делим на a, знак сохраняется. 3x ≤ 15 → x ≤ 5.
• a < 0: делим на a, знак переворачивается. −3x ≤ 15 → x ≥ −5.
• a = 0: переменной не остаётся. 0x > 7 решений не имеет, а 0x > −7 верно при любом x.

Числовая прямая: открытые и закрытые точки

Ответ неравенства удобно увидеть: это заштрихованная полоса на числовой прямой. Для x > 8 полоса тянется вправо от восьмёрки, а сама восьмёрка — выколотая точка с пустым кружком: равенство не разрешено, точка в решение не входит. Для x ≥ 8 кружок закрашивают — восьмёрка входит в компанию решений. Слева полоса уходит в минус бесконечность, справа — в плюс, и ось рисуют со стрелкой. Рисунок спасает в заданиях с выбором числа: глянул, где граница и куда идёт штриховка, — и ответ виден без вычислений.

Откуда неравенства берутся в задачах

В текстовых задачах неравенство появляется из слов «не меньше», «не больше», «хватит ли». Курьер из начала урока — уже готовое неравенство: 3000 + 500x ≥ 7000. Ещё пример: в холле надо расставить не больше 60 стульев, по 6 в ряд — из 6n ≤ 60 выходит n ≤ 10, значит, десятый ряд последний возможный. Переводя условие, ищи, какая величина меняется и где граница: «не меньше» даст ≥, «строго меньше» даст <. Ответом чаще всего оказывается не одно число, а полоса значений — и это нормально: у задачи про заказы нет единственного x.

Двойные неравенства

Условие часто зажимает переменную с двух сторон: температура в холодильнике должна быть от 0 до 6 градусов, то есть 0 ≤ t ≤ 6. Такая запись читается как два условия сразу: t ≥ 0 и t ≤ 6. Решить двойное неравенство — значит освободить x в середине, повторяя одинаковые ходы во всех трёх частях. Правила прежние: действие делается везде, а при умножении на минус переворачиваются оба знака сразу. Ответом снова будет промежуток, только теперь у него две границы.

Двойное неравенство — короткая запись системы из двух условий. Можно решать и по-другому: разбить его на два отдельных неравенства, решить каждое и найти, где ответы пересекаются. Выйдет тот же (−2; 3], просто строк больше.

Системы неравенств

Система — это несколько неравенств, которые должны быть верны одновременно. Решение системы — пересечение решений всех её частей. Возьмём x > 1 и x ≤ 4: первое даёт полосу правее единицы, второе — от четвёрки и левее, вместе остаётся полоса от 1 до 4, где единица выколота, а четвёрка закрашена. Записывается ответ как (1; 4]. Если полосы не налегают друг на друга, решений нет: x < 2 и x > 5 не выполняются ни при каком числе.

Рабочий приём — рисовать обе штриховки на одной прямой: где они легли друг на друга, там и ответ. Способ работает и для трёх условий, и когда решение одного неравенства целиком накрыто решением другого.

• x > 1 и x ≤ 4 — ответ (1; 4]: полосы пересекаются между единицей и четвёркой.
• x ≤ 0 и x < 3 — ответ (−∞; 0]: первая полоса целиком внутри второй.
• x < 2 и x > 5 — общих чисел нет, у системы решений нет.

Словарь темы

Неравенство с одной переменной#

запись с x и знаком >, <, ≥ или ≤, верная при одних значениях переменной и неверная при других

Решение неравенства#

значение переменной, при котором неравенство превращается в верное; таких значений обычно бесконечно много

Промежуток#

полоса чисел на прямой — форма ответа; записывается со скобками и значком бесконечности

Выколотая точка#

граница с пустым кружком: при строгом знаке само это число решением не является

Нестрогое неравенство#

запись с ≥ или ≤: равенство разрешено, граница входит в ответ

Система неравенств#

несколько условий под одной фигурной скобкой; подходят только числа из пересечения всех ответов

Как это спрашивают на контрольной

1. Реши линейное неравенство и запиши ответ промежутком. Пример: 7 − 2x < 3 даёт x > 2, то есть (2; +∞).
2. Изобрази решение на числовой прямой: за выколотые и закрашенные точки снимают отдельные баллы.
3. Укажи наименьшее целое решение: для x > 4 это 5, а для x ≥ 4 уже 4 — разница в одну точку.
4. Реши систему из двух неравенств и посчитай, сколько у неё целых решений.
5. Проверь подстановкой, является ли число решением: иногда это быстрее полного решения.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема