Обратная пропорциональность y = k/x и гипербола

Класс едет на экскурсию: 120 километров. Со скоростью 60 км/ч дорога займёт 2 часа, со скоростью 80 — полтора, а если водителю достанется ровная трасса и выйдет 120 км/ч — всего час. Скорость выросла вдвое, время сжалось вдвое. Никто ничего не складывал, но произведение скорость на время всегда равно 120. Такие величины называют обратно пропорциональными, и описывает их одна короткая функция.

Что такое обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — зависимость вида $y=\frac{k}{x}$, где k — число, не равное нулю. Её главный признак: при увеличении x в несколько раз y уменьшается во столько же раз. Время поездки при заданном пути, давление газа и его объём при постоянной температуре, число рабочих и срок стройки — всё это про одну формулу. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности, и в жизненных задачах оно всегда конкретно: для автобуса k = 120 километров.

Область определения — все x, кроме нуля: делить на ноль нельзя. Поэтому график разорван: он состоит из двух отдельных ветвей, а между ними, ровно над x = 0, — пропасть. Значения функции тоже никогда не равны нулю, так что и к горизонтальной оси график не опускается. Оси здесь работают как асимптоты: кривая прижимается к ним всё ближе, но ни разу не касается.

Асимптоты: к осям — бесконечно близко

У гиперболы есть два невидимых спутника — асимптоты. Асимптота — это прямая, к которой график приближается бесконечно близко, но ни разу не касается. Для y = k/x асимптотами служат обе оси координат. Проверь на числах: при x = 1000 значение y = 8/x равно 0,008, при x = 100 000 — всего 0,00008. Кривая ползёт к горизонтальной оси всё ниже, но нуля не достигнет никогда.

С вертикальной осью то же самое, только наоборот: чем ближе x к нулю, тем больше y. При x = 0,1 получаем y = 80, при x = 0,01 — уже 800: ветвь улетает вверх, прижимаясь к оси y. Чем больше модуль k, тем дальше ветви отстоят от начала координат — гипербола y = 100/x заметно «толще», чем y = 2/x. Отсюда и картина в целом: две ветви, каждая тянется вдоль своей асимптоты, вместе они образуют знакомую фигуру из двух «крыльев».

Асимптоты бывают не только у гиперболы. График остывающего чая прижимается к линии комнатной температуры, а график разгона автомобиля — к линии его максимальной скорости. Идея одна: процесс подходит к пределу всё ближе, но не перескакивает его. Когда в старших классах услышишь про асимптотическое приближение — узнаешь старую знакомую.

Гипербола: как строить и чем запомнить

График обратной пропорциональности называют гиперболой. Строится она по точкам, и точек нужно немного — пять-шесть на ветвь. Для y = 8/x: при x = 1 получаем y = 8, при x = 2 будет 4, при x = 4 — 2, при x = 8 — 1. Вторая ветвь зеркальна: при x = −1 выйдет −8, при x = −2 — −4. У гиперболы есть центр симметрии — начало координат: поворот графика на 180 градусов оставляет его на месте.

У гиперболы есть красивое свойство площадей. Возьми любую точку графика и проведи из неё перпендикуляры к осям — получится прямоугольник. Его площадь равна x · y, то есть k. Для y = 8/x прямоугольник от точки (1; 8) имеет площадь 8, от точки (4; 2) — снова 8. Куда ни ткни — всегда одинаково. На этом свойстве построено немало задач на площади в ОГЭ.

• k > 0: ветви в I и III четвертях, на каждой ветви функция убывает
• k < 0: ветви во II и IV четвертях, на каждой ветви функция возрастает
• график не пересекает ни одну из осей координат
• прямоугольник от любой точки графика до осей имеет площадь |k|

Совместная работа: где k — это объём дела

Самый большой источник задач на обратную пропорциональность — совместная работа. Смысл простой: объём дела играет роль пути, а производительность — роль скорости. Если объём постоянен, производительность и время обратно пропорциональны: кто работает быстрее, тратит меньше времени, а произведение производительности на время всегда равно одному и тому же k.

Теперь пусть работающих несколько: производительности складываются. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов — за час она даёт одну шестую бассейна. Вторая справляется за 3 часа — её часовая доля одна третья. Вместе за час они зальют 1/6 + 1/3 = 1/2 бассейна, значит весь бассейн наполнят за 2 часа. Заметь: совместная работа заняла меньше времени, чем у самого быстрого работника (у второй трубы 3 часа), но не в два раза быстрее — складываются производительности, а не времена.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Обратная пропорциональность#

зависимость y = k/x: больше x — меньше y

Гипербола#

график обратной пропорциональности, две ветви

Ветвь#

отдельная часть гиперболы, живущая в одной паре четвертей

Коэффициент k#

произведение координат любой точки графика

Асимптота#

прямая, к которой график приближается, но не касается

Область определения#

все x, кроме нуля: на ноль делить нельзя

Как это спрашивают на контрольной

• определить по знаку k, в каких четвертях лежат ветви
• по одной точке графика найти k и восстановить формулу
• задача на движение или работу: время, скорость, производительность
• площадь прямоугольника от точки гиперболы до осей — она равна модулю k

В каждом задании начинай с проверки знака коэффициента: одна забытая минута — и ветви уехали не в те четверти. Дальше всё сводится к аккуратному умножению и делению, плюс привычка проверять точки произведением координат.

Где гипербола встретится дальше

Обратная пропорциональность переезжает в физику сразу после алгебры: давление и объём газа при постоянной температуре, сила тока и сопротивление при постоянном напряжении, скорость и время на том же пути. В девятом классе гипербола появится в системах уравнений: пересечение прямой с гиперболой сводится к дробно-рациональному уравнению, а это одна из самых частых задач второй части ОГЭ.

Что делать сейчас: пройди квиз и открой тренажёр — там варианты генерируются заново при каждом запуске, так что решай, пока не закроешь все задания без подсказок. После этого двигайся к функции y = √x — следующей новой кривой восьмого класса.

Пример из стройки: двое рабочих красят забор за 12 дней. Если нанять шестерых — работа займёт 4 дня, а если двадцать четыре — всего один. Проверь обратную пропорциональность делением: 2 · 12 = 24, 6 · 4 = 24, 24 · 1 = 24. Произведение «человекодней» не меняется — вот он, коэффициент k. Такие расчёты ремонтники делают каждый день: срок всегда можно купить деньгами, если знаешь k.

Полезная привычка на контрольной: проверяй точку на гиперболе умножением. Возьми координаты, перемножь — должно выйти k. Для y = 12/x точка (3; 4) подходит (12), а (2; 5) нет (10). Такой тест быстрее, чем пересчитывать деление, и ловит ошибки в разы надёжнее.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема