Функция y = √x и её график
Ищем сторону квадратного участка и рисуем график y = √x: рост всё медленнее, зеркальность параболе и прикидки корня без калькулятора.
Дачнику выделили квадратный участок площадью ровно 100 м² и просят обнести его сеткой. Сколько метров покупать? Сторона участка — число, которое в квадрате даёт 100, то есть 10. А вот соседу достался участок на 150 м², и тут простого подбора не хватает: √150 — не целое число. Понять, где он живёт и как ведут себя вообще все корни, помогает график функции y = √x.
Как устроен график y = √x
Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, поэтому область определения функции — все x не меньше нуля. График существует только справа от оси y, а слева от нуля — пустота. Значения тоже неотрицательны: y ≥ 0. Таблица точек собирается мгновенно из квадратов: 0 даёт 0, 1 даёт 1, 4 даёт 2, 9 даёт 3, 16 даёт 4, 25 даёт 5.
| x | y = √x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
| 25 | 5 |
Смотри, как график растёт: сначала взлетает круто, потом распрямляется и ложится всё более полого. От 0 до 4 по оси x кривая поднялась на 2, а от 16 до 25 — всего на 1, хотя x прибавил целых девять. Корень растёт, но чем дальше, тем неохотнее. Эта выпуклость — самая узнаваемая черта кривой: она похожа на разогнутую половинку параболы.
Особняком стоит точка (0; 0) — единственное место, где график касается осей, причём сразу обеих. Дальше кривая уходит строго вверх и вправо, между осями не прогибается. Плотность точек в таблице подсказывает характер роста: между 0 и 1 корень взлетает от 0 до 1, а между 16 и 25 поднимается лишь с 4 до 5, хотя по горизонтали оба промежутка почти равные.
Сравнение значений: что больше
Корень растёт вместе со своим подкоренным числом: больше x — больше √x. Из этого правила вырастает весь арсенал сравнений. Что больше: √50 или 7? Возведи семёрку в квадрат: 49 < 50, значит √50 больше семи (примерно 7,1). А √80 против 9? Квадрат девятки равен 81, и 80 меньше, значит √80 чуть меньше девяти.
Сравнивать два корня ещё проще: √45 больше √40, потому что 45 больше 40 — подкоренные числа переносят сравнение на корни без вычислений. По графику то же самое видно глазами: точка кривой над числом 45 лежит выше точки над числом 40. Три инструмента — квадраты соседей, монотонность и картинка — закрывают почти любую задачу на сравнение.
Полезная прикидка из жизни: площадь квадратной комнаты 19 м² — значит, сторона зажата между 4 и 5 метрами (квадраты 16 и 25) и ближе к четырём, примерно 4,4. Хватит ли плинтуса длиной 18 метров? Периметр — четыре стороны по 4,4, около 17,6 метра, так что впритык. Одна прикидка корня — и вопрос решён без калькулятора.
- зажать подкоренное число между соседними квадратами
- сравнить подкоренные числа: у большего числа корень больше
- для сравнения корня с целым возведи это целое в квадрат
- по графику: точка кривой над большим x лежит выше
Связь с параболой и скорость роста
У y = √x есть двойник. Возьми параболу y = x², оставь только правую половину — x ≥ 0 — и поменяй местами x и y: получишь ровно график корня. Геометрически это отражение относительно прямой y = x, которая идёт под 45 градусов через начало координат. Поэтому корень называют обратной функцией к квадрату: квадрат прячет число в степень, корень достаёт обратно.
Из графика ответы читаются без калькулятора. Горизонтальная прямая y = 3 пересекает кривую при x = 9, значит √9 = 3. Прямая y = 4 — при x = 16. Чтобы оценить √40, зажми его между квадратами: 36 < 40 < 49, значит корень между 6 и 7, чуть дальше середины. Такие прикидки на ОГЭ экономят минуты и ловят грубые ошибки.
- √x определён только при x ≥ 0
- значения корня неотрицательны: y ≥ 0
- график целиком в верхней полуплоскости и стартует из начала координат
- функция возрастает, но всё медленнее
Решаем уравнение √x = a
Уравнение √x = a решается взглядом на график: горизонтальная прямая y = a пересекает кривую там, где прячется ответ. При a = 3 прямая встречает кривую в точке x = 9, значит корень уравнения — девятка. При a = 0 пересечение происходит в начале координат: единственный корень — ноль.
А вот при a < 0 прямая уходит под кривую и не встречает её нигде: уравнение √x = −2 корней не имеет. Это не «решения потерялись» — их и не может быть, ведь корень неотрицателен. Запомни три случая: a больше нуля — один корень a², a равно нулю — корень ноль, a меньше нуля — корней нет.
Проверка занимает секунду: подставь найденный x обратно. Для √x = 3 ответ 9, и действительно √9 = 3 — сходится. Такая привычка страхует от описок, которые в корневых уравнениях случаются чаще обычного: то лишний квадрат прилип, то корень забыли снять.
Словарь урока
- Арифметический квадратный корень#
- неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному
- Подкоренное выражение#
- то, что стоит под знаком корня; отрицательным быть не может
- Область определения#
- все x не меньше нуля — только там существует график
- Полуветвь параболы#
- половина параболы y = x², отражённая относительно прямой y = x
- Выпуклость#
- замедление роста: кривая поднимается всё более полого
- Прикидка корня#
- зажать число между соседними квадратами и уточнить десятые
Где корень стреляет дальше
Следующая большая тема — квадратные уравнения — держится на корнях целиком: формула дискриминанта выписана через √. Теорема Пифагора живёт в той же системе: диагональ квадрата со стороной 1 равна √2, и график корня помогает понимать это число как координату на кривой. В геометрии восьмого класса площади и расстояния между точками тоже постоянно таскают корни по формулам.
Физика тоже будет считать через корень: время падения тела с высоты h равно корню из 2h/g. С высоты 25 метров — это примерно девятый этаж — тело падает корень из пяти, то есть около 2,2 секунды. Скорость у земли считается так же: корень из 2gh при g ≈ 10 даёт около 22 м/с. Две формулы подряд — и без корня не обходится ни одна.
Что делать дальше: пройди квиз, затем открой тренажёр — там решаются уравнения вида √x = a и прикидки корня между целыми. После этого логично идти в урок про квадратные уравнения: там корень перестанет быть отдельной диковиной и станет рабочим инструментом.
- Зажми подкоренное число между соседними квадратами: 81 < 90 < 100.
- Значит 9 < √90 < 10, и ответ ближе к девятке: 90 ближе к 81.
- Уточни перебором десятых: 9,5² = 90,25 — почти в точку, значит √90 ≈ 9,49.
- Сузь вилку с другой стороны: 9,4² = 88,36 — меньше 90, значит корень зажат между 9,4 и 9,5.
- Три короткие проверки — и ответ готов с точностью до десятой, быстрее калькулятора.
Жизненная прикидка: соседу нужен забор вокруг квадратного участка на 150 м². Сторона — √150 ≈ 12,25 м (12² = 144, 13² = 169), периметр — около 49 метров, значит сетки нужно 4 рулона по 15 м с небольшим запасом. Ни одного калькулятора: два соседних квадрата, умножение и здравый смысл.
√90 зажат между 9 и 10. Прикинь точнее и проверь.
Как это спрашивают на контрольной
- сравнить корень с числом или два корня между собой
- решить уравнение вида √x = a при любом знаке a
- найти сторону квадрата по его площади
- проверить, принадлежит ли точка графику
В задании на точку проверяй два условия сразу: абсцисса неотрицательна и ордината равна корню из абсциссы. Точка (16; −4) проваливает второе условие, точка (−9; 3) — первое. Спешишь на глазок — теряешь балл на ровном месте.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Между какими соседними целыми числами лежит √40?
2 Площадь квадратной грядки — 144 м². Чему равна её сторона в метрах?
3 Какая точка лежит на графике ?
4 Вычисли √(9 + 16).
5 Весь график функции y = √x лежит в верхней полуплоскости.
6 Что больше: √23 или 4?
7 Функция y = √x возрастает на всей области определения.
8 Разложи точки по принадлежности графику y = √x.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
9 Дополни про график корня.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
График y = √x существует только при x ≥ , потому что под корнем не бывает .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему график y = √x не продолжается влево от нуля?
Под корнем не может стоять отрицательное число: у −4 нет квадратного корня среди обычных чисел. Поэтому область определения — только x ≥ 0, и график существует лишь справа от оси y.
Как оценить корень без калькулятора?
Зажми число между ближайшими квадратами: 40 лежит между 36 и 49, значит √40 между 6 и 7. Для точности проверяй десятичные: 6,3² = 39,69 — почти попадание.
Чем y = √x отличается от y = x²?
Это взаимно обратные функции: одна возводит в квадрат, другая достаёт корень. Их графики симметричны относительно прямой y = x, если у параболы брать только правую половину.
Может ли √x равняться отрицательному числу?
Нет: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому уравнение √x = −3 не имеет решений. Не путай с уравнением x² = 9 — у него два корня, 3 и −3, потому что минус там прячется в основании, а не под корнем.