Степень с целым показателем

Пылинка весит 0,0000001 грамма, а масса Земли — 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов. Оба числа честные, но читать их пытка: нули сбиваются в кучу, и легко потерять разряд. Прежде чем научиться коротко записывать такие числа — это следующий урок, — нужен инструмент: степень с любым целым показателем, не только натуральным. Отрицательные показатели распахивают дверь в мир малых чисел.

Отрицательный и нулевой показатель

До восьмого класса степень была только с натуральным показателем: $a^n$ — это a, умноженное на себя n раз. Как понимать $2^{-3}$? Договорились так: минус в показателе означает «переверни». $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$. Нулевая степень хранит единицу: $a^0=1$ при любом a, кроме нуля. Проверь на лестнице десяток: каждый шаг вверх умножает на 10, каждый шаг вниз делит. 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1 — лестница непрерывна, и правило работает на всех ступенях.

a^0#

единица при любом основании, кроме нуля

a^{-n}#

обратная дробь: единица, делённая на a в степени n

(a/b)^{-n}#

перевёрнутая дробь в степени: (b/a)^n

0^{-n}#

не существует: деление на ноль

a^{-1}#

единица, делённая на a: например, 5⁻¹ = 0,2

Свойства степеней#

правила умножения, деления и возведения в степень действуют и для целых показателей

Закономерность видна и на других основаниях: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 0,5. Каждая ступенька вниз делит значение на основание. Именно отсюда выводится правило переворота: 2⁻¹ — это 1/2, 2⁻² — 1/4, и никаких новых законов придумывать не пришлось.

Все свойства степеней из седьмого класса продолжают работать: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Только теперь показатели бывают любыми целыми. Пример: $2^5\cdot 2^{-3}=2^{5-3}=2^2=4$. Ещё: $10^7:10^9=10^{-2}$ — деление большого числа на ещё большее превратило результат в крошечный, и степень это честно отразила.

Свойства степеней с целым показателем

Правила седьмого класса не пришлось переписывать — они просто расширились на новые показатели. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Примеры: 3⁻² · 3⁵ = 3³ = 27; 2⁻⁴ : 2⁻⁶ = 2² = 4; (5²)⁻³ = 5⁻⁶. Заметь: сложение с минусом дало положительный показатель, а вычитание отрицательного обернулось плюс.

Возьмём цепочку из трёх действий: 2⁻³ · 2⁵ : 2⁻¹. Показатели идут со знаками: −3 + 5 + 1 = 3, значит ответ 2³ = 8. Одна строка вместо трёх этажей дробей — в этом и сила свойств. Если сомневаешься, разверни одно действие в дроби и убедись: 2⁻³ · 2⁵ — это 32/8, то есть 4, и это же 2². Всё честно.

• при умножении показатели складываются
• при делении показатели вычитаются
• при возведении степени в степень показатели перемножаются
• минус в показателе — переворот в обратную дробь
• нулевая степень ненулевого основания — единица

Дробь под минусом: приём «переверни»

Самый приятный случай — отрицательная степень у дроби. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$ вычисляется в два движения: переверни дробь, получишь $\frac{3}{2}$, затем возведи в квадрат — выйдет $\frac{9}{4}$. Логика та же, что у $a^{-n}$: минус в показателе меняет местами числитель и знаменатель. Это спасает в задачах с половинками и третями: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}=2^5=32$ — ответ целый и солидный.

Если основание — десятичная дробь, помогает перевод. 0,1 — это 10⁻¹, поэтому 0,1³ = 10⁻³ = 0,001. Одна и та же величина живёт в двух записях, и степенная часто удобнее для умножения: 0,01 · 0,001 = 10⁻² · 10⁻³ = 10⁻⁵ = 0,00001. Считать через степени быстрее и надёжнее, чем нулями.

Минус в показателе и минус в основании

(−2)⁻² — совсем не то же самое, что −2⁻². Со скобками в минус вторую возводится сама двойка: (−2)² = 4, и ответ 1/4. Без скобок минус относится к результату: 2⁻² = 1/4, а минус перед дробью даёт −1/4. Разница в знаке, а в тестах это целый балл. Основание с минусом возводить можно, правила работают как обычно: (−3)⁻¹ = 1/(−3) = −1/3.

Отдельная история — ноль. В положительной степени он честно даёт ноль: 0⁵ = 0. А вот ноль в нулевой и в отрицательной степени не существует: переворот требует деления на ноль, и математика здесь бессильна. Запомни: запись 0⁰ не имеет значения, и на контрольной её надо признать неопределённой, а не единицей.

Степени десятки в измерениях

Отрицательные степени десятки — рабочий язык измерений. Санти — 10⁻², милли — 10⁻³, микро — 10⁻⁶, нано — 10⁻⁹: сантиметр, миллиметр, микрон и нанометр входят в физику уже в этом году. Толщина волоса — около 7·10⁻⁵ м, размер бактерии — примерно 2·10⁻⁶ м, длина волны зелёного света — 5,5·10⁻⁷ м. Вместо «семь стотысячных метра» — короткая запись, которую удобно умножать и делить.

Переводить быстрее по ступенькам, чем нулями: 3 мм — это 3·10⁻³ м, 40 микрон — 4·10⁻⁵ м, 2 нанометра — 2·10⁻⁹ м. Спустился на приставку — сдвинул показатель на её число. Так меряют и микробов, и транзисторы: элементы процессора уже давно живут в нанометрах.

Крайности шкалы окружают нас со всех сторон: масса Земли и масса пылинки, миллиарды километров до планет и нанометры на кристалле процессора. Степенная запись — универсальный язык для обоих концов: один и тот же приём работает и вверх, и вниз по лестнице. Выучил его один раз — и большие, и малые числа больше не пугают.

Зачем это всё

Следующий урок — стандартный вид числа — построен на отрицательных степенях десятки: без них не записать ни массу электрона, ни размер вируса. Физика с 8 по 11 класс пишет почти все малые и большие величины именно так. А в девятом классе те же правила степеней переедут на дробные показатели: появится равенство $a^{1/2}=\sqrt{a}$, связывающее степени и корни.

Что делать дальше: пройди квиз на отрицательные и нулевые показатели, потом открой тренажёр — там понадобится и переворачивать дроби, и складывать показатели разных знаков. Если что-то не сходится, вернись к лестнице десяток: она раскладывает всю логику на пальцах.

Отрицательные степени живут вокруг тебя в метрах и сантиметрах: 1 см = 10⁻² м, 1 мм = 10⁻³ м, толщина волоса — около 10⁻⁴ м. Лестница десяток помогает переводить на лету: 0,05 м — это 5·10⁻² м, микрон — 10⁻⁶ м. Как только величина стала «слишком маленькой для слов», ты просто считаешь ступеньки вниз.

Как это спрашивают на контрольной

• вычислить значение с отрицательным или нулевым показателем
• упростить выражение с одинаковым основанием
• перевести десятичную дробь в степень десятки и обратно
• отличить минус в показателе от минуса в основании

В задании на упрощение не спеши разворачивать дроби — сначала сложи показатели: 7⁻³ · 7³ = 7⁰ = 1. Многоэтажная запись схлопывается в одну строку, если помнишь про нулевую степень. А в сравнении степеней одного основания выигрывает та, у которой показатель больше — даже если оба показателя с минусом: 2⁻¹ больше, чем 2⁻².

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема