Стандартный вид числа

Масса Земли — 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов. Попробуй прочитать вслух: «шесть и двадцать четыре нуля». А теперь масса атома водорода: 0,00000000000000000000000000167 кг. Такие числа физики и астрономы пишут каждый день, и ни один человек не хранит их в хвостах из нулей — записи 6·10²⁴ и 1,67·10⁻²⁷ читаются с одного взгляда. Это и есть стандартный вид числа.

Что такое стандартный вид

Стандартный вид числа — запись $a\cdot 10^n$, где множитель a (его называют мантиссой) лежит в промежутке от 1 до 10, а n — целое число, его называют порядком. Скорость света — примерно 300 000 000 м/с, то есть $3\cdot 10^8$ м/с: мантисса 3, порядок 8. Диаметр вируса гриппа — около 0,0000001 м, то есть $1\cdot 10^{-7}$ м: мантисса 1, порядок −7. Большие числа получают положительный порядок, маленькие — отрицательный.

Мантисса может быть дробной или целой — лишь бы от 1 до 10. У 6,4·10⁶ мантисса 6,4; у 1·10⁹ — единица. Если вышло больше десяти, ты недоработал: 45·10³ — не стандартный вид, запятую нужно тянуть дальше, до 4,5·10⁴. Само число при этом не меняется — меняется только запись.

Порядок числа: как его найти

Порядок числа — это показатель степени десятки, и его можно найти, не выписывая запись целиком. Для целых чисел порядок на единицу меньше количества цифр: у 4537 четыре цифры, порядок 3. Для чисел меньше единицы порядок отрицательный и на единицу больше числа нулей сразу после запятой: у 0,00082 три нуля, порядок −4. Два этих счётчика закрывают почти любое задание.

На ОГЭ спрашивают прямо: «найдите порядок числа, записанного в стандартном виде». Отвечай одним взглядом на степень десятки, мантиссу не трогай: у 9,3·10⁵ порядок 5, у 4,7·10⁻² порядок −2. Порядок показывает, во сколько раз число больше или меньше единицы с нулями, поэтому сравнивать числа по порядку быстрее, чем по мантиссам.

Умножение и сравнение в стандартном виде

Умножать огромные числа в стандартном виде — одно удовольствие: мантиссы перемножаются, порядки складываются. Возьмём $(3\cdot 10^5)\cdot (2\cdot 10^4)$: мантиссы дают 3 · 2 = 6, порядки 5 + 4 = 9, ответ $6\cdot 10^9$. Никаких столбиков на пять строк. Если мантиссы перемножились в десятку или больше — выдели лишнюю десятку в порядок: 4·10⁶ · 5·10⁷ = 20·10¹³ = 2·10¹⁴.

Сравнивать числа тоже проще по порядку: у кого порядок больше — то число больше, мантиссы смотрят только при равных порядках. 2,4·10⁶ больше, чем 9,8·10⁵, потому что 10⁶ в десять раз крупнее 10⁵. Так астрономы сравнивают массы планет, а химики — размеры молекул, не выписывая ни одного нуля.

Солнечная система: числа, которые не влезают в тетрадь

Расстояние от Земли до Солнца — около 150 миллионов километров, то есть 1,5·10⁸ км. Свет пробегает его за 8 минут 20 секунд: делим 1,5·10¹¹ м на 3·10⁸ м/с, получаем 5·10² секунд — ровно 500. Дальше пропасть растёт: до Нептуна примерно 4,5·10⁹ км, и даже свету нужно больше четырёх часов.

Сравнение планет тоже идёт через порядки. Масса Солнца — 2·10³⁰ кг, масса Земли — 6·10²⁴ кг: разница в шесть порядков даёт прикидку «в миллион раз», а точное деление уточняет — примерно в 330 тысяч. Оценка по порядкам промахнулась всего втрое, и для космических масштабов это отличная точность.

Микромир: вирусы, бактерии и атомы

В обратную сторону числа убывают так же быстро. Вирус гриппа — около 3·10⁻⁷ м, то есть 0,3 микрометра; бактерии крупнее — около 2·10⁻⁶ м; эритроцит, красная кровяная клетка, — 7·10⁻⁶ м. Дальше лестница уводит в невидимое: атом водорода — 10⁻¹⁰ м, а его ядро — 10⁻¹⁴ м.

1. вирус гриппа — 3·10⁻⁷ м
2. бактерия — 2·10⁻⁶ м
3. эритроцит — 7·10⁻⁶ м
4. атом водорода — 10⁻¹⁰ м
5. ядро атома — 10⁻¹⁴ м

Отношения между малыми величинами считаются вычитанием порядков: 2·10⁻⁶ : 3·10⁻⁷ — мантиссы дают 2/3, порядки −6 − (−7) = 1, выходит примерно 7. Значит, бактерия крупнее вируса в семь раз. А если атом вырастить до яблока диаметром 8 сантиметров, его ядро окажется пылинкой в несколько микрон: внутри атома почти сплошная пустота.

Где это понадобится

Физика восьмого класса сразу начнёт требовать стандартный вид: заряд электрона 1,6·10⁻¹⁹ Кл, давление и плотности в задачах, постоянные величины из таблиц. На ОГЭ по математике есть прямое задание на запись числа в стандартном виде и действия со степенями десятки. В химии количество молекул в одном моле — 6·10²³ — встретится постоянно.

Информатика добавляет свои порядки: объём памяти тоже растёт степенями, и приставки те же — кило, мега, гига, тера. Флешка на 64 гигабайта и диск на 2 терабайта — за каждой подписью стоит степень, и привычка к стандартному виду делает такие подписи прозрачными. Один и тот же навык читает и астрономию, и файлы на рабочем столе.

Что делать дальше: пройди квиз на мантиссу и порядок, затем тренажёр — он гоняет перевод туда-обратно и умножение стандартных записей. Если пропустил урок про степень с целым показателем, сначала закрой его: стандартный вид стоит ровно на тех правилах.

Разберём деление на реальной величине: капля воды — около 5·10⁻⁵ литра, а в стакане 2·10⁻⁴ литра. Сколько капель в стакане? Делим: (2·10⁻⁴) : (5·10⁻⁵) — мантиссы 2 : 5 = 0,4, порядки −4 − (−5) = 1. Выходит 0,4·10¹ = 4 — четыре капли? Очевидный брак! А всего лишь потерян перенос: 0,4 надо дотащить до 4, порядок станет 0, и верный ответ — 4000 капель. Проверка «разумностью» спасает от таких ляпов: капля слишком мала, чтобы их было четыре.

После любого действия со стандартными записями делай две проверки: мантисса результата попала в промежуток от 1 до 10 и ответ «разумный» по размеру. Если получилось 0,4·10¹ или 45·10³ — дотяни запятую до правильной мантиссы и скорректируй порядок на единицу. Десять секунд на контроль — и каверзных «четырёх капель» в тетради не появится.

Словарь урока

Стандартный вид#

запись a·10ⁿ, где мантисса лежит от 1 до 10

Мантисса#

множитель перед степенью десятки: хранит цифры числа

Порядок числа#

целая степень десятки: показывает размер числа

Перенос запятой#

влево — порядок растёт, вправо — становится отрицательным

Значащая цифра#

первая ненулевая цифра: с неё начинают счёт разрядов

Оценка по порядкам#

сравнение чисел по разнице степеней десятки

Как это спрашивают на контрольной и ОГЭ

• привести число к стандартному виду и назвать мантиссу
• найти порядок числа — большого или меньше единицы
• сравнить два числа в стандартном виде
• выполнить умножение или деление стандартных записей

Типовое задание ОГЭ выглядит так: дано 0,0003·10⁵, найдите порядок. Дотяни мантиссу: 0,0003 = 3·10⁻⁴, тогда 3·10⁻⁴·10⁵ = 3·10¹ — порядок 1. Схема всегда одна: сначала исправь мантиссу до промежутка от 1 до 10, потом сложи порядки.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема