Гипербола и функция y=k/x — алгебра 8 класс: как строить график

В магазине на 240 рублей покупатель берёт конфеты к чаю: по цене 80 рублей за килограмм выходит 3 кг, по 120 рублей — 2 кг, а по 60 — целых 4 кг. Цена выросла в полтора раза — масса уменьшилась в полтора раза. Никто ничего не складывал, но произведение цены на массу всегда 240. Такие величины называют обратно пропорциональными, и описывает их одна короткая функция.

Обратная пропорциональность: определение и свойства

Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x, где k — число, не равное нулю. Здесь потрачено 240 рублей, поэтому k = 240: цена, умноженная на массу, всегда даёт 240. Главный признак: при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Область определения — все числа, кроме нуля: делить на ноль нельзя, поэтому график разорван на две отдельные ветви. Значения тоже никогда не равны нулю — кривая не дотягивается до осей.

Строим гиперболу по таблице

График называют гиперболой. Строим по таблице: для y = 6/x при x = 1, 2, 3, 6 получаем 6, 3, 2, 1; при x = −1, −2, −3, −6 — значения −6, −3, −2, −1. Отмечаем точки и соединяем плавной линией — выходят две ветви, похожие на крылья. Оси координат служат гиперболе асимптотами: чем больше x, тем ближе кривая прижимается к горизонтальной оси, но не касается её; чем ближе x к нулю, тем резче ветвь взлетает. Слово «асимптота» переводится как «несовпадающая» — прямая, к которой график стремится, но никогда не догоняет.

Обратная пропорциональность вокруг нас

Как только две величины перемножаются в постоянное число, за дело берётся y = k/x. Скорость и время на одном и том же пути: 240 километров на 60 км/ч — 4 часа, на 80 км/ч — 3 часа, а произведение всегда 240. Цена и масса покупки: те же 240 рублей — 3 килограмма по 80 или 2 килограмма по 120. Производительность и срок работы бригады, длина и ширина прямоугольника заданной площади, время чтения и скорость чтения — всюду одно и то же постоянное произведение.

• скорость и время при постоянном пути: v · t = s
• цена и масса при постоянной сумме: p · m = C
• длина и ширина при постоянной площади: a · b = S
• число рабочих и срок при постоянном объёме работ

Проверь любую из этих ситуаций вопросом: «если первую величину удвоить, что станет со второй?» Если она уполовинится — перед тобой обратная пропорциональность. Рабочих стало вдвое больше — срок уполовинился. Цены выросли втрое — купить можно втрое меньше. Это свойство — самый быстрый способ узнать зависимость y = k/x в текстовой задаче, ещё до всяких таблиц.

С этим правилом жил и газ в закрытом баллоне: давление и объём обратно пропорциональны — сжал газ вдвое, давление выросло вдвое. В физике это зовут законом Бойля — Мариотта и записывают как p · V = постоянная. Алгебра восьмого класса и физика девятого встретились в одной формуле — так бывает часто.

Что делает коэффициент k

Коэффициент k — это и есть то самое постоянное произведение xy. У конфет k = 240 — количество потраченных рублей. В точке (2; 3) гиперболы y = 6/x произведение координат 2 · 3 = 6. Поэтому принадлежность точки графику проверяют умножением: на графике y = k/x лежит только та пара, у которой произведение координат равно k. Точка (4; 5) лежит на графике y = 20/x, ведь 4 · 5 = 20, а на графике y = 18/x её нет.

Модуль k управляет «разлётом» ветвей. Чем больше |k|, тем дальше от начала координат прижимаются ветви: гипербола y = 100/x проходит через (10; 10), а y = 6/x уже при x = 6 даёт единицу. Знак k решает, где живут ветви: плюс — I и III четверти, минус — II и IV. А вот форма кривой от k не меняется: y = −8/x — это зеркальное отражение y = 8/x, ветви просто переезжают из I и III четвертей во II и IV.

Полезно знать и про симметрию: гипербола симметрична относительно начала координат. Точки (2; 3) и (−2; −3) зеркальные — если первая лежит на графике, то и вторая лежит. Поэтому таблицу для второй ветви не пересчитывают, а просто переворачивают знаки у обеих координат.

Типичные ошибки построения видны издалека. Первая — рисовать ветви «вплотную» к осям с острым углом: правильная ветвь приближается к осям плавно, как лодка к берегу. Вторая — соединить ветви одной дугой через верх: между ними разрыв, и никакой дуги там быть не может. Третья — ломаная вместо кривой: гипербола изгибается всё круче по мере приближения к оси y. Возьми четыре точки на ветвь, проведи плавную линию и проверь её промежуточной точкой: между (2; 3) и (3; 2) у графика y = 6/x должна лежать точка примерно (2,4; 2,5).

И ещё один вопрос, который любят задавать: где у гиперболы ось симметрии? У параболы она вертикальная, а у гиперболы — наклонная, прямая y = x: точки (1; 6) и (6; 1) симметричны относительно неё, как и (2; 3) с (3; 2). Координаты поменялись местами — точки поменялись местами относительно диагонали. Это та же симметрия, что связывает график корня с параболой, — она ещё встретится в этой главе.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Обратная пропорциональность#

зависимость y = k/x, где k ≠ 0

Гипербола#

график обратной пропорциональности из двух ветвей

Ветвь#

одна из двух частей гиперболы

Асимптота#

прямая, к которой график прижимается, но не касается

Разрыв#

точка x = 0, где функция не существует

Коэффициент k#

постоянное произведение xy для всех точек графика

Как это спрашивают на контрольной

• «Построй график функции y = k/x» — таблица из пар множителей, две ветви, аккуратный прижим к осям
• «В каких четвертях ветви?» — смотрим только на знак k и больше ни на что
• «Принадлежит ли точка графику?» — умножь координаты и сравни с k
• «Найди k по точке» — то же произведение координат

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема