График функции y=√x — алгебра 8 класс: таблица и свойства корня

Камень сорвался с обрыва и летит вниз. Высота h связана со временем падения t формулой h = 5t². С двадцати метров камень летит 2 секунды, с сорока пяти — 3, с восьмидесяти — 4. Физику часто нужна обратная задача: по высоте найти время, то есть извлечь корень. Для этого и нужна функция y = √x — она «отматывает» квадрат назад.

Функция y = √x и её таблица значений

Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, поэтому область определения функции y = √x — все x, большие или равные нулю. Слева от нуля графика нет: там корень не существует. Таблица собирается из квадратов: x = 0, 1, 4, 9, 16 дают y = 0, 1, 2, 3, 4. Отмечаем точки и соединяем плавной линией, которая выходит из начала координат и поднимается всё более полого: сначала корень растёт быстро, потом всё медленнее — чтобы удвоить значение, x приходится увеличить вчетверо.

Сравнение с параболой y = x²

Сравни с параболой y = x² на участке x ≥ 0: у кривых общие точки (0; 0) и (1; 1), но дальше парабола взмывает вверх — при x = 4 даёт 16, а корень даёт всего 2. График корня и правая ветвь параболы симметричны относительно прямой y = x: поменяй в точке параболы координаты местами, и (2; 4) превратится в (4; 2) — точку графика корня. Это не случайность: корень обращает квадрат назад. Свойства коротко: функция возрастает на всей области определения, принимает значения от нуля и выше, наибольшего значения у неё нет.

Лестница квадратов: считаем корни без калькулятора

Весь график корня держится на квадратной лестнице: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Выучи её наизусть — и половина задач восьмого класса решается в уме. Корень любого числа, попавшего между ступеньками, зажат между соседними корнями: √20 между 4 и 5, √52 между 7 и 8, √90 между 9 и 10. Точнее без калькулятора не скажешь, но для контрольной этого хватает: обычно и просят «между какими числами».

• √2 — между 1 и 2, около 1,4
• √5 — между 2 и 3, около 2,2
• √20 — между 4 и 5, около 4,5
• √52 — между 7 и 8, ближе к 7
• √90 — между 9 и 10, почти посередине

Прикидка работает и в обратную сторону. Сколько примерно будет √300? Триста — это чуть меньше 324 = 18², значит ответ около 17,3. Такие оценки спрашивают и на ВПР, и на ОГЭ, а в жизни они ещё полезнее: прикинуть сторону участка площадью 300 квадратных метров, не доставая калькулятор, — та же самая лестница. Калькулятор честно выдаёт длинные хвосты вроде 7,2111, но в контрольной такая точность не нужна — математики и сами чаще живут прикидками, а точный корень из «некрасивого» числа так и записывают: √52.

Почему корень растёт всё медленнее? Каждый новый шаг по вертикали стоит всё дороже: от 1 до 2 кривая добралась за четыре шага по x (от 1 до 4), от 2 до 3 — за пять (от 4 до 9), от 3 до 4 — за семь (от 9 до 16). Чтобы удвоить значение корня, вход нужно увеличить вчетверо: √16 = 4, √64 = 8. Это медленный рост — полная противоположность параболе, у которой выход растёт всё быстрее.

Где корень нужен: геометрия и физика

Корень появляется всякий раз, когда из площади ищут длину. Сторона квадратной теплицы с площадью 49 м² равна √49 = 7 метрам. Ковёр площадью 5 м² — это квадрат со стороной √5, около 2,24 метра. А в физике время падения из формулы h = 5t² достаётся именно корнем: чтобы узнать, сколько секунд летит камень с 45 метров, делим 45 на 5 и извлекаем корень — 3 секунды.

Скоро корень появится и в геометрии треугольника: теорема Пифагора говорит, что c² = a² + b², и длина гипотенузы достаётся корнем. Экран со сторонами 6 и 8 сантиметров имеет диагональ √(36 + 64) = √100 = 10 сантиметров. Отсюда и дюймы в характеристиках ноутбуков: диагональ — всегда результат извлечения корня, поэтому числа там выходят некрасивые.

В обоих примерах корень решает обратную задачу: квадрат превращал длину в площадь, корень возвращает площадь в длину. Именно поэтому график y = √x симметричен правой ветви параболы относительно прямой y = x — вход и выход поменялись ролями. Пара (2; 4) на параболе и пара (4; 2) на корне — один и тот же факт, записанный в двух направлениях. Многие считают корень темой «для старших классов», а он уже в простых расчётах: грядка, ковёр, экран, время падения.

Кстати, обратная задача часто жёстче прямой. Площадь не бывает отрицательной — и корень это красиво учитывает: если тебе в условии встретился «квадрат со стороной √−9», ты сразу видишь брак в данных. В задачах про падение камня тоже следи за областью: высота под корнем должна быть неотрицательной, а ответ — тем более. Проверка «а существует ли вообще мой ответ» — привычка, которая отличает аккуратного решателя.

Разбор типовой задачи

Тот же график отвечает и на обратный вопрос: какой x даёт y = 2,5? Поднимись на высоту 2,5 и посмотри вниз — попадёшь между 4 и 9, ближе к 6. По вертикали график работает в обратную сторону: даёт x по y. В обе стороны он читается одинаково легко, потому что корень растёт без остановок: больше высота — больше x, и никак иначе.

Словарь урока

Арифметический корень#

неотрицательное значение корня из неотрицательного числа

Подкоренное выражение#

то, что стоит под знаком корня, всегда x ≥ 0

Область определения#

для y = √x все x от нуля и больше

Прикидка корня#

оценка между соседними квадратами лестницы

Наименьшее значение#

у функции y = √x это 0 в точке x = 0

Симметрия относительно y = x#

связь графика корня с правой ветвью параболы

Как это спрашивают на контрольной

• «Построй график y = √x» — таблица из квадратов, плавная линия, ничего слева от нуля
• «Принадлежит ли точка графику?» — извлеки корень из первой координаты и сравни со второй
• «Между какими целыми лежит корень?» — лестница квадратов
• «Наибольшее и наименьшее значение на отрезке» — корень растёт, значит максимум на правом краю
• «Реши уравнение вида корень из x равен a» — возведи оба числа в квадрат и проверь, что a неотрицательно

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, клик по картинке — на весь экран, ←/→ — листать, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема