Степень с целым показателем и стандартный вид числа — алгебра 8 класс

Диаметр атома водорода — примерно 0,0000000001 метра, а диаметр Солнца — 1 390 000 000 метров. Между этими величинами девятнадцать порядков, и в обычной записи обе цифры неудобны: нули сбиваются в кучу, теряются, их не прочитать вслух. Физики выходят из положения степенями: 1·10⁻¹⁰ м и 1,39·10⁹ м. Запись короткая, масштаб виден с одного взгляда. Сегодня научимся и так записывать, и так считать.

Отрицательный и нулевой показатель

До восьмого класса показатель степени был натуральным. Теперь договорились: минус в показателе означает «переверни» — a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125, а 10⁻² = 0,01. Нулевая степень держит единицу: a⁰ = 1 при любом a, кроме нуля. Все знакомые свойства степеней продолжают работать: a⁻³ · a⁵ = a², при делении показатели вычитаются, а (a⁻²)⁻³ = a⁶ — минусы перемножаются.

Стандартный вид числа

Стандартный вид числа — запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Множитель a называют мантиссой, показатель n — порядком. Чтобы перевести число, сдвинь запятую так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра, и посчитай, на сколько разрядов она уехала: влево — порядок положительный, вправо — отрицательный. Диаметр Солнца 1 390 000 000 м превращается в 1,39·10⁹ м, а диаметр атома водорода 0,0000000001 м — в 1·10⁻¹⁰ м. В такой записи сравнивать легко: у Солнца порядок 9, у атома −10.

Свойства степеней: минусы не портят правила

Все пять свойств, знакомых с седьмого класса, продолжают работать с целыми показателями — в этом главная красота договора. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2⁻³ · 2⁵ = 2² = 4. При делении вычитаются: 3⁻² : 3⁻⁴ = 3² = 9 — два минуса вычлись и дали плюс. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (5⁻²)³ = 5⁻⁶ = 1/15625.

Откуда берётся правило a⁰ = 1? Из деления: a³ : a³ = 1, но по свойству степеней это a³⁻³ = a⁰. Значит, a⁰ обязан равняться единице, иначе свойства развалится. Тот же расчёт объясняет минус: a³ : a⁵ = 1/a², а по свойству это a⁻² — вот и появился отрицательный показатель. Математики не придумали a⁰ = 1 из воздуха: они доопределили степени так, чтобы все прежние правила остались верными.

Отдельного внимания заслуживает связь с дробями: a⁻ⁿ — это 1/aⁿ, поэтому минус в показателе умеет «переезжать» между этажами дроби. Множитель с отрицательной степенью уезжает из числителя в знаменатель с положительной и наоборот: 1/2⁻³ = 2³ = 8. Проверка простая: 2⁻³ = 1/8, а единица, делённая на 1/8, — это 8. Всё сходится, и новых правил запоминать не нужно.

Где это встречается? Компьютерная память живёт степенями двойки: 2¹⁰ = 1024 байта — один килобайт, 2²⁰ байт — мегабайт, и переходы между ними — те же свойства степеней. В фотографии выдержка «1/128 секунды» — это 2⁻⁷: минус в показателе компактно записал дробь. А физики сокращают степени десяток при каждом переводе единиц — об этом дальше.

Пример на все свойства сразу: упростим 2⁻² · 2⁵ : 2⁻¹. Умножение складывает показатели: −2 + 5 = 3. Деление вычитает: 3 − (−1) = 4. Ответ 2⁴ = 16. Заметь последний шаг: вычесть отрицательный показатель — значит прибавить. Минусы в показателях считаются по тем же правилам, что и любые целые числа, — здесь выручает математика шестого класса.

Лестница степеней десятки

У степеней десятки есть своя лестница, и по ней удобно шагать в обе стороны: 10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1, 10⁻² = 0,01, 10⁻³ = 0,001. Каждый шаг вниз — деление на 10, каждый шаг вверх — умножение. Именно эта лестница стоит за переводом в стандартный вид: сдвинул запятую на разряд — сменился шаг лестницы.

• толщина человеческого волоса — около 10⁻⁴ метра
• миллиметр — 10⁻³ метра, толщина монетки
• километр — 10³ метра, школьная кроссовая дистанция
• микрометр — 10⁻⁶ метра, размер бактерии
• нанометр — 10⁻⁹ метра, размер молекулы воды

Физика вся держится на этой лестнице: размер атома 10⁻¹⁰ метра, размер вируса 10⁻⁷, расстояние от Земли до Солнца 1,5·10¹¹ метров. Приставки в СИ — те же степени: микро значит 10⁻⁶, нано значит 10⁻⁹, кило значит 10³. Так что запись 5 мкм — это 5·10⁻⁶ метра, и переводы делаются на лестнице за секунды.

Действия в стандартном виде

Со стандартным видом удобно считать, потому что мантиссы и порядки живут отдельно. Умножение: перемножаем мантиссы, складываем порядки — (3·10⁵) · (2·10⁴) = 6·10⁹, и никакого столбика с нулями. Деление: мантиссы делятся, порядки вычитаются — (8·10⁷) : (2·10³) = 4·10⁴.

Сложение и вычитание хитрее: сначала уравниваем порядки. 2·10⁶ + 3·10⁵ — это 2·10⁶ + 0,3·10⁶ = 2,3·10⁶: второе слагаемое переписали с тем же порядком, потом сложили мантиссы. Приём тот же, что приведение к общему знаменателю, только в мире степеней десятки. И следи за мантиссой после умножения: если вышло 45·10⁶, стандартный вид требует переписать в 4,5·10⁷ — мантисса обязана жить от 1 до 10.

Астрономы перемножают стандартные виды постоянно: масса Земли 6·10²⁴ кг, масса Солнца 2·10³⁰ кг — Солнце тяжелее в (2·10³⁰) : (6·10²⁴) = 3,3·10⁵ раз, примерно в 330 тысяч. Попробуй проделать это в обычной записи — утонешь в нулях. Стандартный вид придуман именно ради таких расчётов.

Химики пользуются стандартным видом в каждой лабораторной: число Авогадро 6·10²³ — столько частиц в одном моле вещества. Эритроцит — 8·10⁻⁶ метра в поперечнике, восемь микрометров. А перемножив (4·10⁻⁶) · (2·10⁻³), получаем 8·10⁻⁹ — нанометровый мир молекул. Порядок результата подсказывает масштаб ещё до вычислений: минус в порядке — микромир, плюс — мегамир.

Разбор типовой задачи

Словарь урока

Степень с целым показателем#

запись aⁿ, где n — любое целое число

Обратная величина#

для числа a это 1/a, то есть a⁻¹

Мантисса#

множитель a в записи a · 10ⁿ, всегда от 1 до 10

Порядок числа#

целая степень десятки в стандартном виде

Свойства степеней#

правила сложения, вычитания и умножения показателей

Стандартный вид числа#

запись a · 10ⁿ с мантиссой от 1 до 10

Как это спрашивают на контрольной

• «Вычисли 2⁻³ · 2⁵» — складывай показатели, основание не трогай
• «Приведи к стандартному виду» — одна цифра до запятой, порядок по числу разрядов
• «Сравни 10⁻⁵ и 10⁻³» — по лестнице: у десяток больший показатель всегда даёт большее число, даже с минусом
• «Представь дробь в виде степени» — переверни: 1/5 = 5⁻¹
• «Вычисли (a⁻²)⁻³» — минусы перемножаются и дают плюс

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема