Приближённые вычисления. Погрешность и точность

В магазине взвесили яблоки: весы показали 2,38 кг, на чеке то же число. Но настоящая масса яблок — не 2,38 килограмма: у весов есть предел точности, и последняя цифра на дисплее — уже враньё, маленькое и безобидное. Так устроен весь практический мир: ростомер, термометр, спидометр, калькулятор при делении 1 на 3 — везде числа приближённые. Раз точное значение недостижимо, нужно уметь честно считать, насколько мы промахнулись. Этому и учит приближённая арифметика: округление, погрешность, прикидка.

Округление: с избытком и с недостатком

Округлить число — заменить его близким «круглым» значением. Школьное правило такое: смотри на первую отбрасываемую цифру; если она пять или больше, последняя сохранённая цифра увеличивается на единицу, если меньше — остаётся как есть. Округляя 8,367 до сотых, получаем 8,37, до десятых — 8,4, до целых — 8. С каждым шагом число становится грубее, зато удобнее: именно поэтому касса печатает 2,40, а не 2,3987.

Сколько знаков оставлять? На столько, насколько точны исходные данные. Складывать 2,38 кг и 1,2 кг честнее как 3,6 кг: у второго слагаемого десятые — последние надёжные цифры, и сотые в сумме были бы выдумкой. Скорость 62,4 км/ч на спидометре, который врёт на пару километров, в ответе задачи обычно записывают как 62 км/ч. Правило здравого смысла: результат не может быть точнее самого неточного измерения в нём.

Есть числа, для которых точная десятичная запись вообще невозможна. Раздели 1 на 3: получится 0,3333… — тройка не кончается, и любую обрезанную запись вроде 0,33 или 0,333 математика честно называет приближением. То же с корнем из двух: его десятичная запись бесконечна и непериодична. Вот почему приближённые вычисления — не запасной выход для ленивых, а единственный способ работать с такими числами: мы всегда договориваемся, сколько знаков берём.

В жизненных задачах направление округления подсказывает смысл. Плинтуса нужно 4,6 метра, а продают рейками по два метра — купить надо 6 метров, округляя с избытком: недостающие 60 сантиметров никто не доварит. Билетов на 27 человек продают ровно 27 — с избытком «на всякий случай» платить нельзя. А вот пассажиров в автобусе статистика считает с недостатком: 34,7 человека не бывает. Поэтому в задачах всегда читай, что просят: округлить по правилу, с избытком или с недостатком — ответы будут разными.

Абсолютная погрешность

Точное значение#

настоящая величина, которую измеряем или вычисляем

Приближённое значение#

то, что выдал прибор или округление

Абсолютная погрешность#

модуль разности точного и приближённого значений

Относительная погрешность#

отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения

Абсолютная погрешность показывает размер промаха: это модуль разности точного значения и приближённого. Весы показали 2,38 кг, а точная масса 2,41 кг — погрешность равна 0,03 кг. Заметь: неважно, прибор завысил или занизил, — модуль делает разность положительной, потому что промах в обе стороны одинаково плох. Если точное значение неизвестно, за оценку погрешности принимают цену деления прибора: школьная линейка с миллиметровыми штрихами измеряет с точностью до 1 мм, уличный термометр — до 1 градуса.

В задачах ВПР и ОГЭ погрешность чаще всего считается просто: от показания отнимают точное значение или наоборот и берут результат по модулю. Например, счётчик показал 4517 кВт·ч, а верное показание 4512 — погрешность 5 кВт·ч. Формула с модулем страхует от глупого минуса, но смысл всегда один: насколько далеко приближение от истины.

Один и тот же предмет разные приборы меряют с разным промахом. Бытовые весы в ванной показывают массу с шагом в сто граммов, аптечные весы взвешивают письмо с точностью до грамма, а лабораторная электроника различает миллиграммы. Чем мельче цена деления, тем меньше абсолютная погрешность и тем дороже прибор. Поэтому в задачах на измерение всегда уточняй, чем измеряли: ответ для линейки и ответ для штангенциркуля — разные ответы.

Относительная погрешность: точность в процентах

Абсолютной погрешности мало для честного сравнения. Промах в 2 грамма на пачке чая в 100 граммов — это два процента, ощутимая небрежность. Тот же промах в 2 грамма на мешке сахара в 50 килограммов — четыре сотых процента, великолепная точность. Числа разные, погрешность одна, поэтому вводят относительную погрешность: абсолютную делят на модуль точного значения и часто переводят в проценты.

Пример со всеми шагами. Длина детали по чертежу 40 см, измерение дало 41 см. Абсолютная погрешность 1 см. Относительная: 1 : 40 = 0,025, то есть 2,5 процента. Теперь вторая деталь: чертёж 4 см, измерение 5 см — абсолютная та же, 1 см, но относительная 25 процентов. Первое измерение образцовое, второе никуда не годится, хотя промах в сантиметр в обоих случаях. Относительная погрешность и отличает образцовое измерение от брака.

Проценты прикидываются на лету, если потренироваться. Погрешность 3 грамма при массе 60 граммов — это одна двадцатая, то есть 5 процентов. Погрешность 2 километра при пути 80 километров — одна сороковая, то есть 2,5 процента. Достаточно спросить себя: сколько раз погрешность укладывается в значение? Столько же раз уложатся и проценты.

Прикидка: оценка до расчёта

Прикидка — это грубая оценка результата до или вместо точного вычисления. Числа округляют до удобных и считают в уме. Нужно умножить 48,6 на 0,21? Замени 48,6 на 50 и 0,21 на 0,2: получится 10, значит верный ответ близок к десяти, а не к ста и не к одной десятой. Прикидка ловит потерянную запятую, перепутанную операцию и неверно нажатую кнопку быстрее любой проверки столбиком.

В магазине прикидка работает со списками. В корзине товар по 19,9 рубля, второй по 49,5 и третий по 24,8. Точный столбик не нужен: 20 + 50 + 25 = 95 рублей, и если в кассе выйдет 140 — там явно лишний товар или ошибка. Каждое слагаемое округлилось вверх, поэтому прикидка вышла чуть выше настоящего чека — а так и должно быть: 19,9 + 49,5 + 24,8 = 94,2. Так легко проверяются не только чеки, но и сметы, и суммы в задачах.

Для очень больших и очень маленьких чисел прикидка опирается на стандартный вид числа — ты уже умеешь записывать величины как a · 10^n. Масса поезда 3,8 · 10⁵ кг — сразу видно порядок: сотни тысяч килограммов. При умножении стандартных записей мантиссы перемножаются, порядки складываются, и оценка получается за секунды. На ОГЭ задания на стандартный вид и прикидку встречаются каждый год, и решаются они прикидкой, а не калькулятором.

Проверь себя на бытовых числах: термометр показывает 18 градусов — насколько ты ему веришь? Масса рюкзака 4,8 кг — с какой точностью это сказано? Каждая величина вокруг записана с погрешностью, и теперь ты умеешь её считать: вычесть, взять по модулю, поделить на значение — три движения, и точность измерения выражена числом.

Что делать дальше: разбери квиз — он собран на типичных ошибках округления — и открой тренажёр. Там встретятся и показания приборов, и расход по счётчику: каждую задачу решай в два движения, погрешность и её смысл. Дальше по программе — приближённые вычисления плавно перетекут в задачи на реальные измерения в физике, где без понятия погрешности не засчитают ни одну лабораторную работу.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема