График функции y=√x и гипербола y=k/x — алгебра 8 класс
Квадратный участок и поездка на 120 километров: строим графики корня и гиперболы, сравниваем их повадки и учимся читать готовый график без вычислений.
Две задачи из одной недели. Брату выделили квадратный участок площадью 196 м², и он хочет знать сторону: она равна корню из площади. А отец считает поездку до дачи: 120 километров, и время в пути зависит от скорости так, что произведение скорость на время всегда одно и то же. Первая зависимость — это функция y = √x, вторая — y = k/x. Каждую вы уже встречали по отдельности; сейчас положим их графики рядом, сравним повадки и научимся читать обе кривые по готовому чертежу — без пересчёта каждой точки.
Таблица значений — общий строительный инструмент
Обе функции строятся одинаково: составь таблицу, отметь точки, соедини плавной линией. Разница только в том, какие x удобно подставлять. Для корня берут точные квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25: тогда под корнем всё считается в уме. Для гиперболы берут делители коэффициента: если k = 8, то подходят x = 1, 2, 4, 8 и их отрицательные близнецы — деление выходит нацело. Умный выбор столбца таблицы экономит половину работы.
После построения график проверяют контрольной точкой. Взял для корня квадраты 1, 4, 9 — подставь ещё 16: если кривая прошла ровно через высоту 4, таблица и линия согласованы. Для гиперболы y = 12/x контрольная точка 6 даёт высоту 2. Одна проверка ловит и арифметическую ошибку в таблице, и случайно проведённую мимо точки кривую — на контрольной это дешевле, чем перерисовывать весь график.
| Свойство | y = √x | y = k/x |
|---|---|---|
| Область определения | x ≥ 0 | все x, кроме нуля |
| Где живёт график | только первая четверть, из начала координат | I и III четверти при k > 0, II и IV при k < 0 |
| Поведение | растёт, но всё медленнее | убывает на каждой ветви при k > 0 |
| Что удобно подставлять | точные квадраты: 0, 1, 4, 9, 16 | делители k и их противоположности |
Сравни, как кривые выходят на сцену. Корень стартует из точки (0; 0) и первым делом взмывает круто: между x = 0 и x = 1 он успевает вырасти до единицы. Гипербола не стартует ниоткуда — она приходит из бесконечности, опускается к оси x и никогда её не касается. Одна кривая сплошная, другая разорвана над нулём на две отдельные ветви. Это самое заметное различие двух графиков, и видно оно с первого взгляда.
Почему корень растёт всё медленнее? Потому что квадрат растёт всё быстрее. Чтобы сторона квадрата выросла с 2 до 3 метров, площадь нужно увеличить с 4 до 9 квадратных метров — на целых пять. А чтобы сторона выросла с 10 до 11 метров, площади понадобится прибавка сразу в 21 квадратный метр. Корень — это обратное движение по той же лестнице: каждая следующая единица роста стоит всё дороже площади, поэтому кривая распрямляется и прижимается к оси.
- Возрастающая функция#
- чем больше x, тем больше y: корень возрастает на всей области определения
- Убывающая функция#
- чем больше x, тем меньше y: гипербола убывает на каждой ветви при k больше нуля
- Разрыв графика#
- точка, в которой кривая обрывается и продолжается отдельно
- Контрольная точка#
- точка, подстановкой которой проверяют готовый график
Чтение графика: ответы без вычислений
Коэффициент k управляет не только четвертями, но и размахом ветвей. Чем больше k по модулю, тем дальше ветви от начала координат: у y = 1/x точка над единицей на высоте единицы, а у y = 100/x — на высоте ста. При этом форма кривой одинакова: все гиперболы подобны друг другу. У ветвей есть и симметрия: если точка (x; y) лежит на графике, то и точка (−x; −y) на нём же — кривая симметрична относительно начала координат. Именно поэтому ветви выходят парами и живут в противоположных четвертях.
График — это готовая таблица на все значения сразу. Проводишь вертикальную линию через x = 9 и упираешься в точку высотой 3: значит, √9 = 3. Проводишь горизонтальную линию на высоте 2 и смотришь, где она встретила кривую: у гиперболы y = 8/x встреча в x = 4 и в x = −4 — по одной на каждой ветви. Так на графике читают значения, проверяют равенства и даже решают уравнения.
Область определения тоже читается глазами. Где кривой нет — там формула запрещена: слева от нуля у корня пусто, потому что под корнем не может стоять отрицательное число; над нулём у гиперболы разрыв, потому что на ноль делить нельзя. По формуле запреты находят так: у корня решают неравенство «подкоренное выражение не меньше нуля», у дроби выкалывают значения, обнуляющие знаменатель. Для y = √(x − 3) область определения x ≥ 3, для y = 5/(x − 2) — все x, кроме двойки.
Типичное задание по чтению графика звучит двояко: найди y по данному x или найди x по данному y. Первое — вертикальная линия и высота точки, второе — горизонтальная линия и абсцисса пересечения. В задаче про гиперболу y = 12/x вопрос «при каком x значение равно 3» решается одним взглядом: кривая проходит высоту 3 над отметкой 4. Обратное движение по графику пригодится в физике, где по графику скорости ищут время, а не наоборот.
- Слева график корня, справа прямая y = 6 − x со наклоном вниз. Строим обе кривые в одной системе координат.
- Кривые пересекаются в одной точке с абсциссой 4 — прямая спускается и уходит ниже, а корень только растёт.
- Проверка подстановкой: √4 = 2 и 6 − 4 = 2 — равенство сошлось. Корень уравнения x = 4.
Как узнать функцию по графику
На контрольных часто дают график без формулы. Различай четыре фигуры по силуэту. Прямая — линейная функция. Парабола — квадратичная. Половинка параболы, лежащая на боку и живущая только справа, — корень. Две дуги, прижатые к осям в разных четвертях, — гипербола. Для гиперболы читай ещё и знак коэффициента: ветви в I и III четвертях означают k больше нуля, во II и IV — меньше нуля. По месту ветвей коэффициент узнаётся мгновенно, без единого вычисления.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
Сравнение двух кривых помогает и в жизни. Зависимость «скорость — время» при фиксированном пути всегда гипербола: экономишь час — платишь вдвое большей скоростью. Зависимость «сторона квадратного участка — площадь» связана с корнем: чтобы удвоить сторону, площадь нужно увеличить в четыре раза. Форма графика — это характер зависимости: плавная и неспешная у корня, резкая и разорванная у обратной пропорциональности.
Обратная зависимость окружает нас плотнее, чем кажется. Давление газа и его объём при постоянной температуре связаны через гиперболу: сжимаешь баллон — давление растёт. Число рабочих и срок стройки: бригада вдвое больше — срок вдвое короче, пока объём работ неизменен. Во всех этих сюжетах произведение величин постоянно, а значит, график — гипербола. Увидеть формулу за житейским сюжетом — половина успеха в задачах на движение и работу.
Дальше по плану: пройди квиз и загляни в тренажёр — там значения функций, области определения и чтение графика. Сравнивать графики по силуэту полезно уже сейчас, а в девятом классе это станет рабочим навыком: при графическом решении систем уравнений придётся узнавать прямую, параболу, гиперболу и окружность на одном чертеже и считать их точки пересечения. Возьми за привычку начинать любую функцию с таблицы и области определения — этот ритуал спасёт от половины ошибок.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Найди значение функции y = √x при x = 144.
2 В каких четвертях лежит график функции y = −6/x?
3 График функции y = √x существует только при неотрицательных x.
4 Сопоставь название и описание.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
5 Расставь шаги построения графика по точкам.
6 Какие x входят в область определения функции y = √(x − 2)? Выбери все.
7 Существует ли функция при данном x?
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему у гиперболы две ветви, а у корня одна кривая?
У корня область определения начинается с нуля, и дальше график идёт непрерывно вправо — разрывов нет. У гиперболы запрещена только точка x = 0, поэтому слева и справа от неё график живёт отдельно, и получаются две ветви.
Может ли ветвь гиперболы пересечь ось координат?
Нет. На оси x было бы y = 0, но k/x нулём не бывает, а на оси y было бы деление на ноль. Ветви только прижимаются к осям всё ближе, оставаясь по касательной на бесконечном удалении.
Как по графику найти решение уравнения √x = 1,5?
Проведи горизонтальную линию y = 1,5 и найди её пересечение с графиком корня, затем опусти перпендикуляр на ось x. Получится примерно 2,25, и проверка подтверждает: корень из 2,25 равен 1,5.
Что происходит с графиком y = k/x при смене знака k?
Ветви переезжают из I и III четвертей во II и IV или обратно, а форма кривой не меняется. Поэтому знак коэффициента читается по графику мгновенно: где живут ветви — таков и знак k.