Уравнения с модулем 8 класс: методы решения
Модуль как расстояние до нуля, уравнения |x| = a и |x − b| = a, снятие модуля по определению, случаи без корней и проверка ответов подстановкой.
Инженер на заводе получает задание: изготовить вал длиной ровно двести миллиметров, но идеально точных деталей не бывает. В чертеже пишут: двести плюс-минус ноль целых пять десятых. Это значит, что годится деталь от ста девяносто девяти с половиной до двухсот с половиной миллиметров, а всё, что дальше от двухсот, чем пять десятых, — брак. Математика записывает это требование одной короткой записью с вертикальными палочками: модуль разности длины и двухсот не больше пяти десятых. Эти палочки — модуль — встречаются везде, где важна величина отклонения, а не его знак: в допусках деталей, в погрешности приборов, в разнице курсов валют и в расстояниях на карте.
Модулем числа называют само это число, если оно неотрицательное, и противоположное ему, если число отрицательное. Записывают модуль двумя вертикальными палочками: модуль пяти равен пяти, модуль минус пяти тоже равен пяти. Смысл прост: модуль отбрасывает знак и оставляет только величину. При этом нуль — единственное число, у которого модуль равен нулю: модуль нуля равен нулю. Из определения сразу следует, что модуль никогда не бывает отрицательным, и это маленькое наблюдение дальше спасёт тебя от половины ошибок.
Геометрический смысл: модуль как расстояние
У модуля есть вторая жизнь на числовой прямой. Модуль числа — это расстояние от точки с этой координатой до нуля. Модуль трёх равен трём, потому что от точки три до нуля три единицы; модуль минус четырёх равен четырём, потому что от минус четырёх до нуля тоже четыре единицы — направление не важно, важна длина пути. Отсюда вырастает и более общий факт: модуль разности двух чисел равен расстоянию между соответствующими точками прямой. Модуль разности семи и двух равен пяти — от семи до двух пять шагов; модуль разности двух и минус трёх равен пяти — от двух до минус трёх тоже пять шагов.
Теперь уравнения. Уравнение с модулем просит найти все числа, у которых модуль равен заданному значению. Смотри на это как на вопрос о расстоянии: какие точки находятся на таком-то расстоянии от нуля? От нуля на расстоянии пяти лежат ровно две точки: пять справа и минус пять слева. Значит, уравнение модуль икс равен пяти имеет два корня: пять и минус пять. Это главное уравнение всей темы, и его решение стоит прочувствовать именно через картинку на прямой, а не как рецепт из таблицы.
| Уравнение | Сколько корней | Корни и почему |
|---|---|---|
| |x| = 6 | два | x = 6 и x = −6: две точки на расстоянии шести |
| |x| = 0 | один | x = 0: только нуль сам себе противоположен |
| |x| = −3 | ни одного | модуль не бывает отрицательным — расстояние не измеряют минусом |
| |x| = 2,5 | два | x = 2,5 и x = −2,5: работает и для дробей |
Разберу ход решения на живом примере. Пусть дано уравнение модуль икс равен девяти. Спрашиваю: какие точки лежат на расстоянии девяти от нуля? Справа — девять, слева — минус девять. Два корня, и проверка мгновенна: модуль девяти равен девяти, модуль минус девяти равен девяти. Заметь, что проверка здесь не занудство, а часть метода: подставил оба корня — убедился, что каждый превращает уравнение в верное равенство.
- Посмотри на правую часть: она отрицательная, нулевая или положительная?
- Отрицательная — корней нет, решение закончено. Нулевая — единственный корень нуль.
- Положительная — выпиши два корня: плюс a и минус a.
- Подставь оба корня в исходное уравнение и убедись, что модуль каждого даёт a.
Сдвиг: уравнение |x − b| = a
Следующий уровень — когда под модулем стоит не чистый икс, а разность: модуль икс минус четыре равен семи. Читаем через расстояние: какие точки находятся на расстоянии семи от точки четыре? Слева и справа от четырёх по семь шагов: это четыре минус семь, то есть минус три, и четыре плюс семь, то есть одиннадцать. Два корня: минус три и одиннадцать. Общее правило: модуль разности икс и бэ равен а — корни бэ плюс а и бэ минус а, две точки, симметричные относительно точки бэ. Точка бэ здесь центр: корни лежат от неё на равных расстояниях, и их полусумма всегда возвращает в этот центр.
Проведи это наблюдение руками. Возьмём уравнение модуль икс плюс три равен двум. Кажется, что плюс мешает, но приводим запись к виду «модуль разности»: икс плюс три — это икс минус минус три, значит, центр в минус трёх. На расстоянии двух от минус трёх лежат минус пять и минус один. Проверка: модуль минус пяти плюс трёх равен модулю минус двух, то есть двум; модуль минус одного плюс трёх равен модулю двух, то есть двум. Сошлось. Привычка приводить выражение под модулем к виду «икс минус центр» экономит нервы: сразу видно, относительно какой точки симметричны корни.
Когда под модулем стоит целое выражение с коэффициентом, действует тот же принцип, только модуль снимают по определению. Возьмём модуль двух икс минус шесть равен десяти. Если модуль чего-то равен десяти, то само это что-то равно либо десяти, либо минус десяти. Распадаются два обычных линейных уравнения: два икс минус шесть равно десять, откуда икс равно восемь; и два икс минус шесть равно минус десять, откуда икс равно минус два. Оба корня проходят проверку. Метод называется снятием модуля по определению, и он работает всегда, какой бы многочлен ни прятался под палочками.
Рядом с уравнениями стоит и семейство неравенств, и его полезно понимать картинкой. Вопрос модуль икс меньше трёх — это какие точки ближе трёх к нулю? Ответ: полоса от минус трёх до трёх. Вопрос модуль икс больше трёх — какие дальше трёх? Два луча: левее минус трёх и правее трёх. На качественном уровне достаточно понимать: маленькое расстояние — промежуток между двумя точками, большое расстояние — два луча по краям. В девятом классе ты оформишь это строго через интервалы, а сейчас достаточно картинки и здравого смысла.
Уравнения с модулем приходят из практики чаще, чем кажется. Погрешность измерения записывают модулем: модуль разности показания и истинного значения не превосходит цену деления. Балансируют электрические сети так, чтобы модуль отклонения напряжения от номинала не выходил за норму. В навигации модуль разности широт подсказывает, насколько ты сместился с маршрута, — знак при этом не важен: сместился на север или на юг, тебя интересует сама величина смещения. Даже в спорте: судья фиксирует вес штанги с точностью до грамма, и граница «не дальше грамма от заявленного» — это уравнение с модулем на границе.
Отработаю метод по определению ещё раз, чуть сложнее. Уравнение: модуль трёх икс минус двенадцать равен пятнадцати. Снимаем модуль: либо три икс минус двенадцать равно пятнадцати, либо минус пятнадцати. Первый случай: три икс равно двадцати семи, икс равно девяти. Второй: три икс равно минус трём, икс равно минус одному. Проверка: модуль двадцати семи минус двенадцати равен модулю пятнадцати — пятнадцать; модуль минус трёх минус двенадцати равен модулю минус пятнадцати — пятнадцать. Оба корня настоящие. Обрати внимание на выгодный порядок: сначала полностью упрости выражение под модулем, вынеси общий множитель, и только потом снимай палочки — уравнения получатся короче.
Дальше — тренажёр и тест. Считай модуль по определению, решай |x| = a через две точки на прямой, сдвигай центр в уравнениях с |x − b| и не забывай про случай без корней. Эти навыки пригодятся тебе и в девятом классе при построении графика с модулем, и на экзаменах, где модуль встречается и в первой части, и в задачах повышенной сложности. А главное — модуль приучает к полезной идее: некоторые уравнения выгоднее сначала понять как картинку про расстояния и только потом записывать буквы.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Сколько корней у уравнения |x| = 13?
2 Какое из чисел является корнем уравнения |x − 5| = 3?
3 Уравнение |x| = −4 имеет хотя бы один корень.
4 Что верно про уравнение |x| = 0?
5 Расположи шаги решения уравнения |x − 4| = 9 в правильном порядке.
6 Сопоставь уравнение и количество его корней.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни: модуль числа — это расстояние от точки с этой координатой до ___, а уравнение |x − b| = a имеет корни b ___ a и b ___ a.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Модуль числа — это расстояние от точки с этой координатой до , а уравнение |x − b| = a имеет корни b a и b a.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как решать уравнение с модулем вида |x| = a?
Смотри на правую часть: если a положительно, корни a и −a; если a равно нулю, единственный корень 0; если a отрицательно, корней нет. Полезно представлять расстояние от нуля до точек прямой.
Что делать, если под модулем стоит выражение x − b?
Читай уравнение как вопрос о расстоянии: корни — это точки, отстоящие от b на заданное расстояние влево и вправо, то есть b + a и b − a. Центр всегда b.
Сколько корней бывает у уравнений с модулем?
Обычно два, но бывает один — при нулевой правой части, и ни одного — при отрицательной. Число корней определяется знаком правой части, а не методом решения.
Как снять модуль с выражения с коэффициентом, например |2x − 6| = 10?
По определению: выражение под модулем равно либо 10, либо −10. Распадаются два линейных уравнения, каждое решается обычным переносом слагаемых. Ответы проверяют подстановкой.